Equazione differenziale

Messaggioda Pel10 » 17/05/2018, 16:55

Salve.
Che tipo di equazione differenziale è la seguente, e che strategia posso applicare per risolverla?

xy'+y=ln(y')

Grazie in anticipo per le risposte
Pel10
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda gugo82 » 17/05/2018, 16:59

Pel10 ha scritto:Salve.
Che tipo di equazione differenziale è la seguente, e che strategia posso applicare per risolverla?

xy'+y=ln(y')

Grazie in anticipo per le risposte

È una EDO di Clairaut.
Esiste una tecnica apposita per determinare le soluzioni. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda Pel10 » 18/05/2018, 09:19

Dove trovo una buona guida che illustri la tecnica risolutiva?
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda gugo82 » 18/05/2018, 10:01

Aspetta, però... Sei sicuro dei segni?
Perché altrimenti il trucco di Clairaut non funziona!
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda pilloeffe » 18/05/2018, 10:07

Ciao Pel10,

In Rete trovi diverso materiale, ad esempio:

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Clairault

http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-ottobre2011.pdf

Osserverei però che l'equazione differenziale proposta non è nella forma standard di Clairaut, ma il primo membro è la derivata di $ xy $
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda gugo82 » 18/05/2018, 12:54

Infatti... Soffermandomi sulla nonlinearità in $y’$, ieri non ho guardato con attenzione il resto.

L’equazione è imparentata con l’equazione di Clairaut, ma non è di quel tipo lì. Essa ricade nella categoria più generale delle equazioni di d’Alembert-Lagrange, ossia è del tipo:
\[
y(x) = x\ f(y^\prime (x)) + g(y^\prime (x))\; ,
\]
in cui $f$ e $g$ sono funzioni assegnate è sufficientemente regolari.
Nel caso in esame, $f(y’) = -y’$ e $g(y’) = log y’$.

L’insieme di definizione della EDO è $RR^2 xx]0,+oo[$, quindi le soluzioni hanno tutte la derivata prima positiva e perciò sono strettamente crescenti nel proprio intervallo di definizione.
Ciò che si fa di solito per questo tipo di equazioni è cercarne le soluzioni in forma parametrica, cioè cercare di determinare le curve integrali del problema.
Tecnicamente, ciò si fa prendendo come parametro $t$ l’inclinazione della tangente alla curva rispetto al semiasse $x$ positivo, cioè richiedendo che la parametrizzazione $x=x(t), y=y(t)$ soddisfi la condizione \(\dot{y}(t) = t\ \dot{x}(t)\), la quale in coordinate cartesiane equivale a $y’= t$.1
Sostituendo tutto nella EDO, il problema diventa:
\[
x(t)\ t + y(t) = \log t
\]
nella variabile $t>0$ e nelle incognite $x(t)$ ed $y(t)$.

Supponendo, come di solito si fa, che le due funzioni incognite siano almeno di classe $C^1$, possiamo derivare membro a membro la EDO rispetto a $t$ ottenendo:
\[
t\ \dot{x}(t) + x(t) + \dot{y}(t) = 1/t
\]
e, tenendo presente la relazione tra le derivate di $x$ ed $y$, si ha:
\[
2t\ \dot{x}(t) + x(t) = 1/t
\]
che è una EDO lineare completa del primo ordine e consente di determinare $x(t; C_1)$ ($C_1$ è una costante di integrazione).
Inoltre, ricavando $dot(x)(t)$ dalla precedente e sostituendo in $dot(y)(t) = t dot(x)(t)$ si ottiene una EDO lineare completa del primo ordine e si può determinare anche $y(t;C_2)$ ($C_2$ è una costante di integrazione).
Dunque, si ottiene la curva integrale di equazioni parametriche:
\[
\begin{cases}
x=x(t;C_1)\\
y=y(t;C_2)
\end{cases}
\]
che, se può essere esplicitata eliminando il parametro $t$ fornisce l’equazione implicita della curva integrale; se tale equazione può essere a sua volta esplicitata rispetto ad $y$ si ottiene l’espressione elementare delle soluzioni della EDO.

Note

  1. Un modo brutale di rendersi conto di questa uguaglianza è usare rozzamente i simboli di differenziale:
    \[
    y^\prime = \frac{\text{d} y}{\text{d} x} = \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \cdot \frac{\text{d} t}{\text{d} x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}\;.
    \]
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Re: Equazione differenziale

Messaggioda Pel10 » 19/05/2018, 05:58

Grazie per le risposte.
Sì, ho riportato i segni nella maniera corretta
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