Una successione di numeri complessi

Messaggioda olanda2000 » 17/05/2018, 22:05

Quando abbiamo una successione di numeri reali , diciamo che L è un punto di accumulazione se , da un certo indice n in poi, tutti i termini della successione cadono in un intorno di L.

Invece per la successione di numeri complessi,il libro dice : L (complesso) è un punto di accumulazione se in ogni intorno di L cadono infiniti termini della successione ,"non necessariamente tutti quelli con indice n > di un certo indice".

Non capisco la precisazione che ho posto tra virgolette.
Ho provato anche a disegnare sul piano complesso questa successione di punti complessi.

Grazie
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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda gugo82 » 17/05/2018, 22:08

olanda2000 ha scritto:Quando abbiamo una successione di numeri reali , diciamo che L è un punto di accumulazione se , da un certo indice n in poi, tutti i termini della successione cadono in un intorno di L.

Questa è falsa, poiché è la definizione di limite, non di punto di accumulazione.
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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda anto_zoolander » 17/05/2018, 22:14

$CC$ con la distanza $d(z,w)=|z-w|$ è uno spazio metrico quindi si usano le solite definizioni

Una successione ${w_n}_(n inNN)subseteqCC$ e convergente a $w inCC$ Se

$forallI(w)exists m inNN:foralln inNN(n>m=>w_n inI(w))$

Puoi dimostrare facilmente che se $AsubseteqCC$ e ${w_n}_(n inNN)$ è una successione di $A$ allora

$w_n new,foralln inNN$ e $w_n->w$ se e solo se $w$ è di accumulazione per $A$

Cioè dire che una successione converge ad un valore che non assume è equivalente al dire che quel valore sia di accumulazione per l’insieme
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda olanda2000 » 17/05/2018, 22:58

Ok, questo è quello che sapevo anch'io. Quello che non capisco è perchè il libro distingue la situazione nella retta reale (successione reale) dalla situazione nel piano (intorno circolare di un punto complesso), quando precisa "non necessariamente tutti quelli con indice n > di un certo indice".

Forse ho capito..intende dire se la serie oscilla...allora infiniti punti cadono nell'intorno di L , ma altrettanti punti no (pur avendo indice N > No )
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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda anto_zoolander » 17/05/2018, 23:05

Penso intenda che in ogni intorno cada almeno un punto della successione distinto da $L$, anche perché così avrebbe senso.

Visto che se $forallI(L)exists m inNN:a_m in (I(L)setminus{L})capX$

allora $L$ è chiaramente di accumulazione

La condizione di convergenza è chiaramente più forte, in quanto la implica(nell’ipotesi in cui la successione non assuma quel valore)
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda olanda2000 » 17/05/2018, 23:17

La condizione di convergenza è chiaramente più forte, in quanto la implica(nell’ipotesi in cui la successione non assuma quel valore)


Cioè una successione può avere un punto di accumulazione,ma non essere convergente(successione oscillante)?
Mentre se converge,allora sicuramente ha un punto di accumulazione?
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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda anto_zoolander » 17/05/2018, 23:59

allora facciamo un po' di ordine.

una successione a valori in un insieme $A$ è una qualsiasi funzione $a:NN->A$
un punto di accumulazione invece è qualcosa che ha a che fare con un insieme, in particolare un punto di un insieme può o meno avere la proprietà di essere di accumulazione per esso.

quindi parlare di 'punto di accumulazione di una successione' non ha alcun senso, mentre ha senso parlare di limite di una successione.

Le due 'cose' sono collegate da un teoremino, il seguente:

sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $AsubseteqX$ un suo sottoinsieme

$x in X$ è di accumulazione per $A$ se e solo se $existsa:NN->A: a_n->a wedgea_n ne a,foralln inNN$


mostriamo la prima.
se $x inX$ è di accumulazione per $A$ allora per definizione di punto di accumulazione

$forallJ in I(x) ( Jsetminus{x}capA ne emptyset)$

chiaramente essendo $B(x, r)inI(x),forallr>0$
in uno spazio metrico le palle aperte sono intorni del proprio centro
si ha che $forallr>0(B(x,r)setminus{x}capA ne emptyset)$

ponendo $r=1/n, n inNN$ possiamo considerare il fatto che $B(x,r)setminus{x}capAneemptyset$ equivalga a dire che esista almeno un certo $y in A$ per cui si abbia $0<d(x,y)<r$ quindi significa che possiamo costruire una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqA$ con la proprietà che $0<d(x,x_n)<1/n,foralln inNN$ da cui per confronto $x_n->x$ e $x_n ne x,foralln inNN$ per costruzione

viceversa.
se esiste una successione avente quella proprietà significa dire che

$forall J in I(x) exists m inNN:foralln inNN(n>m => x_n in Jsetminus{x} )$


essendo che $x_n$ è una successione di $A$ è anche vero che $x_n in Jsetminus{x}capA$ ovvero che per ogni intorno $J in I(x)$ l'intersezione $Jsetminus{x}capA$ è non vuota poichè almeno un elemento della successione vi appartiene e quindi $x$ è di accumulazione per $A$

chiaramente la convergenza implica che per ogni intorno esista un indice per cui definitivamente tutti i termini della successione da quell'indice in poi cadono in quell'intorno e quindi è una posizione 'molto forte' per il semplice fatto che non ne contiene 'almeno uno' ma ne contiene infiniti

quindi la convergenza implica che esista almeno un termine della successione che vi cada all'interno.
Viceversa non è detto che se per ogni intorno esiste almeno un termine che vi cade all'interno, allora la successione converga a quel valore, infatti prendiamo questo esempio

$a_n=2^(n(-1)^n)$ e l'insieme $A={2^(n(-1)^n): n inNN}$

possiamo notare subito che questa successione non ammette limite, ovvero non converge, ma l'insieme $A$ ha $0$ come punto di accumulazione.

infatti basta considerare la sottostuccessione $a_(2n+1)=2^(-(2n+1))->0$ ed essendo termini della successione di partenza significa che in ogni intorno di $0$ cade almeno un punto della successione, ma non ne cadono infiniti(ne cadono infiniti della sottosuccessione)
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: Una successione di numeri complessi

Messaggioda olanda2000 » 18/05/2018, 13:02

infatti basta considerare la sottostuccessione $a_(2n+1)=2^(-(2n+1))->0$ ed essendo termini della successione di partenza significa che in ogni intorno di $0$ cade almeno un punto della successione, ma non ne cadono infiniti(ne cadono infiniti della sottosuccessione)


Ho capito, grazie!
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