Integrali multipli

Messaggioda Lebesgue » 17/05/2018, 22:26

Ho problemi con lo studio della convergenza dei seguenti integrali:
(i)$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy$
(ii)$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy$
dove $Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty)$.

Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta$
con $P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]}$, tuttavia non riesco a trovare un modo per maggiorare questo integrale e far vedere che diverge; ho pensato di fare così:
Fisso $0<a<b<\pi/2$, allora vale che $\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho$, dove $m=min{cos\theta\sin\theta:\theta\in[a,b]}>0$.
Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.

Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.
Grazie a chi mi aiuterà.
Lebesgue
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Lebesgue » 18/05/2018, 19:41

Possibile risoluzione di (i)
Abbiamo detto che vale:
$\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge int_1^{+\infty} \ d\rho\int_a^b \ d\theta |\sin(\rho^2)|/\rho$.
Tuttavia si ha che $\sin(\rho^2)\ge-\rho^2 \ \forall\rho>0$, quindi $\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} \ d\rho\int_a^b \ d\theta |-\rho^2|/\rho$ e quest'ultimo diverge.

Possibile risoluzione di (ii)
Notiamo che, posto $f(x,y)=1/(x^2y+xy^2)$ si ha che $f(x,y)=f(y,x)$ ed inoltre l'insieme Q è invariante per la trasformazione $(x,y)\mapsto(y,x)$ dunque vale che:
$\int_Q f(x,y) \ dxdy=2\int_T f(x,y) \ dxdy$ con $T={x\ge1 \ , \ y\gex}$
Ora in T si ha che: $f(x,y)\le 1/(x^3+xy^2)=1/x \cdot 1/(x^2+y^2)$
Quindi $\int_T 1/x \cdot 1/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_1^{+\infty} 1/x \ dx\int_x^{+\infty} 1/(x^2+y^2) \ dy$;
tuttavia $\int_x^{+\infty} 1/(x^2+y^2) \ dy=[1/x \arctan(y/x)]_{y=x}^{y=+\infty}=-\pi/{4x}$ e
$\int_1^{+\infty}-1/x \cdot \pi/{4x} \ dx$ converge
Lebesgue
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Quinzio » 18/05/2018, 21:19

Lebesgue ha scritto:Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.


Intanto facciamo un cambio di variabile che rendera' il seguito piu' comprensibile. Non e' indispensabile, comunque.
Poniamo dunque $\sqrt x = \rho$, da cui $1/(2 \sqrt x) dx = d\rho$.
Il nostro integrale appare gia' piu' trattabile:

$1/2 \int_1^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx$

Ora, se per un momento prendiamo l'integrale definito tra due estremi, ad esempio $a$ e $b$, notiamo che:

$\int_a^b |sin(x)|/x \ dx > \int_a^b |sin(x)|/b \ dx = 1/b \int_a^b |sin(x)| \ dx$.

Con $k \in \NN$, la scelta piu' conveniente e' di prendere gli estremi come multipli di $\pi$, e scriviamo

$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| \ dx = 2$

La parte finale consiste nel riscrivere l'integrale improprio come somma di tanti piccoli integrali definiti:

$\int_{k_0 \pi}^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx = \sum_{k=k_0}^{+infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| / x \dx$

E allora:

$\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho = \int_{k_0 \pi}^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx = \sum_{k=k_0}^{+infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| / x \dx
> 1/\pi \sum_{k=k_0}^{+infty} 1/{k+1} = +infty
$
Ultima modifica di Quinzio il 19/05/2018, 09:41, modificato 2 volte in totale.
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Quinzio » 18/05/2018, 21:48

Lebesgue ha scritto:Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.


Quindi perche' non tentare la fortuna con le coordinate cartesiane ? ;-)

$\int_1^{+infty}\int_1^{+infty} 1/(x^2y+xy^2) \ dx\ dy$

$ = \int_1^{+infty}\int_1^{+infty} 1/x^2 (1/y - 1/(x+y)) \ dy\ dx$

$ = \int_1^{+infty} 1/x^2 \int_1^{+infty} (1/y - 1/(x+y)) \ dy\ dx$

Prima risolviamo l'integrale in $y$:

$\int_1^{+infty} (1/y - 1/(x+y)) \ dy = lim_{a-> +infty } \int_1^a (1/y - 1/(x+y)) \ dy = ... = ln(1+x)$

Allora rimane da risolvere solamente:

$\int_1^{+infty} ln(1+x) / x^2 \ dx$

che converge e che lascio a te da finire.
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Re: Integrali multipli

Messaggioda pilloeffe » 19/05/2018, 00:04

Ciao Lebesgue,

In merito al secondo integrale, aggiungo a quanto correttamente scritto da Quinzio che non è neanche insormontabile scoprire a cosa converge, dato che si ha:

\begin{equation*}
\boxed{\int_1^{+\infty}\frac{\ln(1 + x)}{x^2}dx = \ln(4)}
\end{equation*}

Potresti provare a dimostrarlo (suggerimento: integrazione per parti... :wink: )
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Re: Integrali multipli

Messaggioda dissonance » 19/05/2018, 09:07

Quinzio ha scritto:Ora, se per un momento prendiamo l'integrale definito tra due estremi, ad esempio $a$ e $b$

[...]

La parte finale consiste nel riscrivere l'integrale indefinito come somma di tanti piccoli integrali definiti:

Vuoi dire: riscrivere l'integrale improprio come somma di tanti piccoli integrali definiti. Integrale indefinito, di solito, è l'insieme delle primitive.
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Quinzio » 19/05/2018, 09:17

dissonance ha scritto:Vuoi dire: .....


Ok, corretto. :smt023
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Bremen000 » 20/05/2018, 13:48

Ciao,

Lebesgue ha scritto: [...]
$ Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty) $.

Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$ \int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta $
con $ P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]} $ [...]


che non è un uguaglianza perché $Q \ne P$. Pero puoi scrivere una disuguaglianza del tipo

$ \int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy \ge\int_D |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta = \int_D |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho \ d\rho d\theta$

dove \( D= \Bigl \{ (\rho, \theta) : \rho \in [2, + \infty) , \theta \in ( \pi/6, \pi/3) \Bigr \} \)

e inoltre vale $ \cos\theta\sin\theta$ è inferiormente limitata da $m:=\sqrt(3)/4$ in $( \pi/6, \pi/3) $.

Quello che però poi non mi è chiaro è

Lebesgue ha scritto:$ \int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho $


Infatti sebbene sia $\rho^2 \cos\theta\sin\theta \ge m\rho^2$ non è vero che $|\sin(\rho^2 \cos\theta\sin\theta)| \ge |\sin(m\rho^2)| $ per ogni $\theta \in ( \pi/6, \pi/3) $ e per ogni $\rho \in [2, + \infty)$.

E quindi non mi viene in mente come si potrebbe continuare...
Ma magari non ho capito qualcosa!
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Lebesgue » 21/05/2018, 13:28

Bremen000 ha scritto:
Quello che però poi non mi è chiaro è

Lebesgue ha scritto:$ \int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho $


Infatti sebbene sia $\rho^2 \cos\theta\sin\theta \ge m\rho^2$ non è vero che $|\sin(\rho^2 \cos\theta\sin\theta)| \ge |\sin(m\rho^2)| $ per ogni $\theta \in ( \pi/6, \pi/3) $ e per ogni $\rho \in [2, + \infty)$.

E quindi non mi viene in mente come si potrebbe continuare...
Ma magari non ho capito qualcosa!


Direi che basta scegliere $0<a<b<\pi/2$ opportuni che verificano quella disuguaglianza.
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Re: Integrali multipli

Messaggioda Bremen000 » 21/05/2018, 13:43

Cioè?
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