Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 14/07/2018, 10:14

C'ho pensato su ma non mi sembra che ci siano complicazioni! Dove sbaglio?
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Erasmus_First » 17/07/2018, 12:59

Delirium ha scritto:Esercizio. Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua [...]
Per il quiz che proponi non è nemmeno necessario che $f(x)$ sia continua. E' sufficente che f(x) sia integrabile (secondo Riemann) in ogni intervallo e sia finito l'integrale (improprio] da $-∞$ a $+∞$, cioè: che l'integrale di $f(x)$ in $dx$ da $–a$ ad $a$ per $a$ reale tendente a $+∞$converga
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 17/07/2018, 13:33

Mmmmm e come lo dimostreresti?
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Erasmus_First » 17/07/2018, 15:00

Bremen000 ha scritto:Mmmmm e come lo dimostreresti?
Non c'è bisogno di una dimostrazione ad hoc!
Quel che ho detto è intrinseco alla stesa definizione di integrale [secondo Riemann] (che è il limite di un a somma di addendi "discreti" al tendere all'infinito del numero di addendi ed a zero di ciascun addendo. Ovviamente quel che ho detto è vero perché cos(xy) è continua al variare di x per ogni y fissato e al variare di y per ogni x fissato.
Non sono bravo nel mostrare dimostrazioni rigorose. [Ero un ingegnere, non un matematico!].
Ti posso però portare un bell'esempio che forse basterà a convincere anche te.
Considera un'onda onda quadra dispari q(x), per esempio:
Codice:
q(x) = lim arctan[sin(x)/a]
      a → 0+

che è evidentemente discontinua. E poi poni:
$f(x) = e^(-|x|)· q(x)$.
Il fattore $e^(-|x|)$ trasforma $q(x)$ (che è periodica) in una funzione ancora con lo stesso tipo di discontinuità ma infinitesima sia per x ––> +∞ che per x ––> -∞.
Questa f(x) è integrabile in ogni intervallo (e la sua primitiva nulla in x=0 è una specie di onda triangolare smorzata esponenzialmente in entrambi i versi di x.
Se quindi moltiplichiamo per cos(xy) abbiamo ancora una funzione discontinua infinitesima per x ––>∞ (in entrambi i versi).; però f(x) è ancora integhrabile in ogni intervallo e quindi il tuo integrale non può che essere continuo in y per la stessa definizione di integrale [secondo Riemann].
–––
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 17/07/2018, 19:21

Ci stavo pensando e in effetti se si usa la convergenza dominata, essendo \( f \in L^1(\mathbb{R}) \) e \( \cos(xy) \) limitata, non serve la continuità di $f$. Nella mia dimostrazione (senza convergenza dominata) però la uso, non saprei come fare diversamente!
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