urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 14/06/2018, 01:28

Un corpo puntiforme di massa $m = 4 kg$ si muove nel piano verticale lungo una guida semi-circolare di raggio $R = 0.8 m$, senza mai staccarsi da essa. La guida è per metà scabra (prima parte) e per metà liscia (seconda parte), ed è appoggiata al piano orizzontale.
Il corpo parte da fermo dal punto A posto alla sommità della guida e raggiunge il punto C, posto al fondo di essa, con velocità $v_0 =3.2 m/s$ .
Lì urta centralmente un corpo puntiforme di massa $M = 12 kg$, inizialmente in quiete. L’urto tra i due corpi è perfettamente elastico. Determinare in un sistema di riferimento opportuno, con origine nel punto O, centro del profilo semi-circolare:

a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.



Immagine

Il pedice $d$, tipo $E_{K,INT,d}$ indice l'istante "successivo".

a) Poiché agiscono forze dissipative, non vale la conservazione dell'energia meccanica. Vale però che $W_{A,C}=\Delta E_{K}$.

Perciò il lavoro $W_{A,C}=\frac{1}{2} m v_0^2$.

b) Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla variazione di energia meccanica, perciò $W_{\text{attr}}=\frac{1}{2} m v_0^2 - mgR$.

c) Immediatamente prima dell'urto si ha che sulla massa m vale, fissato un sistema di coordine $u_N, u_{T}$:
$N - mg=m \frac{v_0^2}{R}$
, da cui
$N=m(frac{v_{0}^{2}}{R} + g) \mathbf{u_N}$


d) In un urto elastico, si ha la conservazione dell'energia cinetica interna e della quantità di moto durante l'urto. Perciò, mettendo a sistema queste due condizioni, si ricava che

$V_{m,d}=\frac{(m-M)v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$, velocità di m dopo l'urto. E' negativa, perciò, com'era lecito aspettarsi, si muove in verso opposto a M.

$V_{M,d}=\frac{2m v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$.

e) Si ha la conservazione dell'energia cinetica interna, che è $E_{K,INT,d}=\frac{1}{2} m V_{m}^{2} + \frac{1}{2} M V_{M}^{2}$.

Facendo i conti è effettivamente uguale all'energia cinetica interna prima dell'urto $E_{K,INT,p}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

f) Poiché la seconda parte della guida è liscia, ora vale la conservazione dell'energia e pertanto
$\frac{1}{2} M V_{M}^{2} = Mg H_{\text{max}}$


da cui
$H_{\text{max}}=\frac{V_{M}^{2}}{2g}$


In questi due ultimi punti, in particolare, mi trovo in difficoltà.
g)

Con punto d'arresto in questo caso si intende il punto in cui arrivo all'altezza massima?

In tal caso si avrebbe
$N- mg \sin(\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}$


Ma poiché $v_{\text{max}}=0$, allora $N=mg \sin(\theta) \mathbf{u_{N}}$. C'è qualche possibilità di ricavare pure $\theta$?

h) Per l'accelerazione angolare non saprei proprio come fare. $\vec{\alpha}= \frac{\Delta_w}{Delta t}$, ma non credo sia la strada corretta.

Qualche idea? :D
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1960 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 14/06/2018, 22:54

up!
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1971 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda Bokonon » 15/06/2018, 01:58

a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;


Usa l'equazione dell'energia meccanica, come se non ci fosse attrito e calcola l'energia cinetica "prevista" senza attrito.
Poi calcola quella "reale". La differenza fra le due è l'energia cinetica/potenziale trasformata in calore dall'attrito.
E potrai anche rispondere alle prime due domande.

c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;

Visto dove si troverà il corpo, la forza normale è esattamente quella di reazione ad un oggetto di massa M a riposo posto su un piano...

d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;

Dovresti conoscere l'equazione di conservazione del momento (quantità di moto) in un urto elastico, no?
E ricavi anche le due velocità.

e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.

Banale, segue dalla precedente risposta usando la formula dell'energia cinetica su entrambi i corpi e sommandola.

f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;

Di nuovo applichi l'eq dell'energia meccanica... e stavolta non c'è attrito.

g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;

Questa è estremamente pedante e noiosa come domanda. Dovrai trovare la posizione in base all'altezza ricavata dal punto f)
Tracci il raggio collegandolo alla posizione e pure la tangente su quel punto (due segmenti perpendicolari insomma) e poi dovrai scomporre la forza di gravità in base a quell'angolo.

h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.

Beh, a questo punto avrai la forza di gravità che agisce anche lungo la tangente di cui sopra...l'accelerazione tangenziale.
Dovrai solo convertirla in accelerazione angolare usando la formula che dovresti conoscere :)
Bokonon
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 183 di 329
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 15/06/2018, 09:00

Ciao Bokonon, grazie per la risposta.

Mi sembra che i miei procedimenti rispecchino ciò che hai detto...però negli ultimi due punti sinceramente non riesco a capire se ho svolto correttamente le cose oppure no. Inoltre l'ultimo punto mi rimane ancora oscuro. Non capisco come passare all'accelerazione angolare.
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1972 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda Bokonon » 15/06/2018, 14:16

feddy ha scritto:Ciao Bokonon, grazie per la risposta.

Mi sembra che i miei procedimenti rispecchino ciò che hai detto...però negli ultimi due punti sinceramente non riesco a capire se ho svolto correttamente le cose oppure no. Inoltre l'ultimo punto mi rimane ancora oscuro. Non capisco come passare all'accelerazione angolare.

Quando vai scomporre la forza di gravità rispetto al sistema di riferimento ortogonale direzione raggio e direzione tangente, troverai che la componente della forza di gravità lungo la tangente sarà del tipo:
$F=-mgsin(vartheta)$ quindi $-mgsin(vartheta)=ma$ quindi $a=-gsin(vartheta)$
Dato che $ a=alpha r $ implica che $alpha=a/r =(-gsin(vartheta))/r$
L'accelerazione angolare è negativa perchè la direzione è oraria
Bokonon
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 185 di 329
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 16/06/2018, 14:03

Ti ringrazio @Bokonon, mi è chiaro :)
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1980 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 16/06/2018, 14:03

Quindi mi pare che per punto di arresto si intenda il punto di altezza massima o sbaglio?
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1981 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda Bokonon » 16/06/2018, 17:40

feddy ha scritto:Quindi mi pare che per punto di arresto si intenda il punto di altezza massima o sbaglio?

Certo
Bokonon
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 207 di 329
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda feddy » 16/06/2018, 17:41

Ottimo. Grazie ancora :)
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1985 di 2260
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: urto elastico in guida semi-circolare

Messaggioda Vulplasir » 16/06/2018, 19:12

la reazione Np della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;

Visto dove si troverà il corpo, la forza normale è esattamente quella di reazione ad un oggetto di massa M a riposo posto su un piano...


No...la guida è circolare, la reazione del piano contiene anche la forza centripeta.

@feddy Comunque, NON usare termini come energia cinetica interna e momento angolare intrinseco, sono termini senza senso che usi solo tu e chi ha scritto il testo da cui studi e/o il tuo professore.
Avatar utente
Vulplasir
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4690 di 5443
Iscritto il: 13/08/2013, 19:13
Località: Firenze

Prossimo

Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 38 ospiti