Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda jarjar2 » 13/06/2018, 18:48

Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum mi accorgo che non so usare sempre bene le stime asintotiche in particolare il mio dubbio verte sul punto che non capisco quando semplificare o meno una forma, vi porto degli esempi svolti dall'eserciziario sperando un una mano sul capire come usare

1) $arctan(x)/sqrt(1+x^3)~pi/(2x^(3/2))$ per $x->∞$
cioè qui ho proprio sostituito il risultato del limite di arctan all'infinito che fa pi/2

mentre

2) $arctan(1/x) $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/x $ per $x->∞$
non posso sostituire zero ($ 1/x $ per $x->∞$ sarebbe 0) che se no inficia il risultato (come mi è stato spiegato nel thread)


Mi sembra che in alcuni casi si usi in un modo e in altri no.
Non capisco perché da una parte debba sostituire la stima asintotica della funzione e dall'altra posso sostituirci il pi/2 numerico

3) $1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)~1/x$ per $x->+∞$
e anche in questo terzo esempio "semplifica" (cosx)/x mandandolo a zero (come svolgesse il limite), però non svolge 1/x che darebbe 1/∞ e quindi zero. Perché 1/x si tiene e cosx/x no? Perché questo diverso trattamento?

Non riesco a capire quando posso semplificare e quando no nelle stime asintotiche di esempio.Mi sembra si comporti sempre diversamente e non carpisco la logica
jarjar2
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Re: Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda pilloeffe » 13/06/2018, 22:47

Ciao jarjar2,
jarjar2 ha scritto:Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum

Innanzitutto ti ringrazio sia per quanto hai scritto sopra, sia per aver aperto un nuovo thread sull'argomento.

Venendo a noi, prendiamo il tuo esempio 1). La domanda che dovresti porti è la seguente: come si comporta la funzione $arctan(x) $ quando $x \to +\infty $ ? Pensa a come è fatta la funzione $ arctan(x) $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(x)
Come dovresti sapere si ha $ lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \pi/2 $, cioè la funzione $ arctan(x) $ ha un asintoto orizzontale di equazione $y = \pi/2 $ che sovrasta la funzione, quindi nel caso specifico si potrebbe anche usare il $\le $ (che in genere prediligo) invece della stima asintotica, infatti si ha:

$ arctan(x)/sqrt(1+x^3) \le pi/(2x^(3/2)) \qquad \AA x \in (0, +infty) $

2) Dai un'occhiata al grafico delle due funzioni $arctan(1/x) $ e $ 1/x $: dovresti accorgerti facilmente che all'aumentare di $x$ l'andamento delle due funzioni tende a sovrapporsi, cioè le due funzioni si comportano allo stesso modo per $x to +\infty $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(1%2Fx)+and+1%2Fx

Infatti come già scritto nell'altro thread si ha $lim_{x \to +\infty} frac{arctan(1/x)}{1/x} = 1 \implies arctan(1/x) $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/x $

Anche in questo caso si potrebbe usare il $\le $, infatti dall'andamento delle due funzioni si vede subito che si ha:

$ arctan(1/x) \le 1/x \qquad \AA x \in (0, +\infty) $
pilloeffe
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Re: Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda jarjar2 » 13/06/2018, 23:57

pilloeffe ha scritto:Innanzitutto ti ringrazio sia per quanto hai scritto sopra, sia per aver aperto un nuovo thread sull'argomento.

Credo sia il minimo se qualcuno mi da una mano, ringraziarlo :)

Ok, forse sto iniziando a capire, in sostanza si va a sostituire pi/2 perché è proprio il "comportamento al limite",come è il comportamento al limite di arctan(1/x)->1/x per x->infinito.

Mi resta tuttavia il dubbio su questo

$1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)~1/x$ per $x->+∞$
e anche in questo terzo esempio "semplifica" (cosx)/x mandandolo a zero (come svolgesse il limite), però non svolge 1/x che darebbe 1/∞ e quindi zero. Perché 1/x si tiene e cosx/x no? Perché questo diverso trattamento?

$1/x$ si comporta $(=0)$ al pari di $(cosx)/x=0$
In pratica perché posso scrivere $1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)=1/x*(1+0)/(1+0)$ che mi porta a $~1/x$ ma non posso operare nel mdedesimo modo su 1/x?
A logica mi vereebe da scrivere anche, che so: $1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)=0*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)$ :oops:
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Re: Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda saretta:) » 14/06/2018, 16:29

[EDIT]: Ops, corretta svista!

Ciao, mi si corregga se sbaglio, ma intervengo sperando di darti una mano (e sperando di non dire castronerie)
******
Ma secondo me stai facendo un pasticcio tra algebra degli "infiniti e infinitesimi" -come la chiama il mio prof- e la definizione di equivalenza asintotica.
$lim_(x->c) f(x)/g(x)=1$ con g(x) diversa da zero

Ti faccio notare che l'equivalenza asintotica si può sostituire nel limite perché il comportamento della funzione in quell'intorno è assimilabile a quello della funzione cui èasintoticamente equivalente allafunzione -x.

Va da sé che $arctan(1/x)~0$ per $x->∞$ non ha senso di esistere, dovendo essere $lim_(x->∞) f(x)/g(x)=lim_(x->∞) (arctan(1/x))/0=1$ non ha senso proprio perché g(x) è zero.

Ha invece senso $arctan(x) $ \( \displaystyle \sim \) $ pi/2 $ per $x->∞$, infatti $lim_(x->c) (arctan(x))/(pi/2)=1$

*******

Passando al terzo punto, quando scrivi: $1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)~1/x$ per $x->+∞$ è dovuto al fatto che $lim_(x->c) (1+(cosx)/x)/1=1$ cioè è asintoticamente equivalente a 1, idem per il denominatore.

Ti porto un ultimo esempio: $(2x)/e^x-x~-x$ per $x->+∞$, vero!
Ma occhio che non hai mandato via $(2x)/e^x$ perché l'algerba degli infinitesimi te lo permette (essendo un infinito a denominatore di ordine superiore) e quindi concludi che è asintoticamente equivalente a x, semmai $lim_(x->∞) ((2x)/e^x-x)/-x$ qui applichi l'algebra degli infinitesimi NEL LIMITE e ottieni $lim_(x->∞) (0-x)/-x=1$ che ti dimostra essere asintoticamente equivalente.

Piccola nota: Inoltre essendo asintoticamente equivalente in un secondo momento potresti anche afferamre che $lim_(x->∞) (2x/e^x-x)/-x=lim_(x->∞) -x/x^2$ cioè si possono sostituire le equivalenze asintotiche nei limiti (in questo caso ho sostituito proprio il numeratore).
*******

@Pilloeffe: Non picchiarmi se ho detto qualcosa di sbagliato lol
saretta:)
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Re: Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 22:06

@saretta:)
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Anche se volessi, e non voglio, ammetto di non conoscere alcun sistema per picchiare qualcuno telematicamente... :wink:
pilloeffe
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Re: Stime asintotiche negli integrali impropri, non so usarle

Messaggioda saretta:) » 14/06/2018, 23:21

@pilloeffe :-D :-D :-D
Lo so lo so, siete troppo bravi su questo forum.

Spero comunque di non aver portato fuori stratda l'utente :lol:
saretta:)
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