Integrale triplo

Messaggioda ChiricoGa » 14/06/2018, 11:36

$V={x^2+y^2+z^2<=4 ;z>=1}$ Calcolare $\int int int x^2yz dxdydz$ su $V$
Passando alle coordinate sferiche mi vengono i seguenti intervalli:$0< \theta <2\pi,0<\phi<\pi/3,0<\rho<2$ e quindi l'integrale generale mi viene 0 , non capisco dove sbaglio.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda 21zuclo » 14/06/2018, 15:10

sei sicuro di quel $ z\geq 1 $ ?

perché passando in coordinate sferiche $ { ( x=\rho \sin\phi\cos\theta ),( y=\rho \sin\phi \sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $

si ha $ \rho \cos\phi \geq 1\to \cos\phi \geq 1 $

il che è improbabile, visto che in generale si ha $ -1\leq cos(x)\leq 1 $

ed anche se fosse $ 0\leq \phi \leq \pi/3 $

si avrebbe $ \cos(0)=1, \cos(\pi/3)=1/2 $
"Se la matematica è la regina delle scienze, allora l'algebra è il gioiello della sua corona"
(cit.)

$\sum_1^(+\infty) (1)/(n^2)=\pi^2/6$

$\sum_(n=1)^(+\infty) (1)/((2n+1)^4)=(\pi^4)/(96)$
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Re: Integrale triplo

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 15:22

Ciao ChiricoGa,

Innanzitutto dovresti specificare quale "versione" di coordinate sferiche stai utilizzando, perché ne esistono almeno un paio... :wink:
Supponendo che tu stia utilizzando quelle menzionate da 21zuclo (cioè con $\phi $ colatitudine) non mi torna l'intervallo per $\rho $ che salvo errori mi risulta essere il seguente: $\frac{1}{\cos\phi} \le \rho \le 2 $
Sicuro poi di non aver dimenticato lo jacobiano della trasformazione $\rho^2 sin\phi $ ?
Per le coordinate cartesiane mi risultano gli intervalli seguenti:
$ 1 \le z \le sqrt{4 - x^2 - y^2} $
$ - sqrt{3 - x^2} \le y \le sqrt{3 - x^2} $
$ - sqrt{3} \le x \le sqrt{3} $
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Re: Integrale triplo

Messaggioda ChiricoGa » 14/06/2018, 17:47

Si scusate avete ragione , si ho usato esattamente quelle coordinate sferiche e vi spiego il mio procedimento così magari trovate la "falla".

$\{(x=\rhosin(\phi)cos(\theta)),(y=\rhosin(\phi)sin(\theta)),(z=\rhocos(\phi)):}$

$J=\rho^(2)sin(\phi)$

Ho risolto il sistema:
$\{(\rho^(2)sin^2(\phi)cos^2(\theta)+\rho^(2)sin^2(\phi)sin^2(\theta)+\rho^(2)cos^2(\phi)<=4),(\rhocos(\phi)>=1):}$

Rimane:
$\{(\rho^(2)<=4),(cos(\phi)>=1/(\rho)):}$

Ovvero:
$\{(0<=\rho<=2),(cos(\phi)>=1/2):}$

Infine:
$\{(0<=\rho<=2),(0<=\phi<=\pi/3):}$

Quindi $\theta$ rimane $0<=\theta<=2\pi$

$\int_{0}^{2} int_{0}^{2\pi} int_{0}^{\pi/3} (f(\rho,\theta,\phi)*J) d\rho,d\theta,d\phi=0$
Sbaglio qualcosa di concettuale comunque perchè mi vengono tutti zero in questo modo...
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