Massimo e minimi vincolati

Messaggioda ChiricoGa » 14/06/2018, 12:48

Determinare massimi e minimi assoluti se esistono di $f(x,y)=2x^2+xy+2y^2$ soggetta ai vincoli $x>0, x^2+2xy=1$
Ho provato con il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma viene impossibile il sistema , poi annullando il gradiente ma non ho ottenuto niente anche in quel caso...
avete qualche idea?
ChiricoGa
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Re: Massimo e minimi vincolati

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 14:45

Ciao ChiricoGa,
ChiricoGa ha scritto:avete qualche idea?

La prima che mi viene in mente è trovare la $y $ dal vincolo, $y = frac{1 - x^2}{2x} $, sostituirla nella $z = f(x, y) $ e studiare la funzione di una sola variabile

$z = z(x) = 2x^2 + frac{1 - x^2}{2} + frac{(1 - x^2)^2}{2x^2} $

per $x > 0 $
pilloeffe
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Re: Massimo e minimi vincolati

Messaggioda ChiricoGa » 14/06/2018, 18:00

Mi sembra assolutamente una buona idea, quindi in pratica basta che trovo la derivata prima $dz(x)$ , la pongo uguale a zero , studio il segno e in base alla monotia trovo i minimi e massimi giusto?
ChiricoGa
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Re: Massimo e minimi vincolati

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 19:54

Certo, la tratti come una normale funzione della sola variabile indipendente $x$.
Magari prima la sistemi un po' scrivendola in una forma un po' più umana, infatti si ha:

$z(x) = 2x^2 + frac{1 - x^2}{2} + frac{(1 - x^2)^2}{2x^2} = 2x^2 +1/2 - x^2/2 + frac{1 - 2x^2 + x^4}{2x^2} = $
$ = frac{4x^4 + x^2 - x^4 + 1 - 2x^2 + x^4}{2x^2} = frac{4x^4 - x^2 + 1}{2x^2} $

Si tratta di una funzione pari avente dominio $D = \RR - \{0\} $, ma comunque, data la presenza dell'altro vincolo $x > 0 $, a noi interessa solo la parte a destra dell'asse delle ordinate.

Un grafico di massima con l'aiuto di WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2+%2B++(1+-+x%5E2)%2F2+%2B+((1+-+x%5E2)%5E2)%2F(2x%5E2)

La derivata è $z'(x) = frac{4x^4 - 1}{x^3} = frac{(2x^2 - 1)(2x^2 + 1)}{x^3}$

Dato che $x > 0 $ lo è anche il denominatore, ed essendo il secondo fattore a numeratore sempre positivo, è sufficiente studiare il primo, dal quale si evince che la funzione ha due minimi, dei quali ci interessa però solo quello positivo: $ min(sqrt{2}/2, 3/2) $
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Re: Massimo e minimi vincolati

Messaggioda ChiricoGa » 15/06/2018, 12:26

È un’idea brillante , anche a me viene quel minimo assoluto! Molto bravo
Grazie mille
ChiricoGa
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