esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 14:51

salve a tutti!
mi date una mano a risolvere e a comprendere come si svolgono questi tipi di esercizi?

sia r la retta passante per i punti $ (3,1,0) $ e $ (2,1,1)$ , e sia $ pi$ il piano ortogonale ad r e passante per il punto$ (1,1,1) $ allora:
A)l'equazione del piano $ pi$ è$ x-z=0$
B)$ pi $ non passa per l'origine
C)l'equazione del piano$ pi $ è$ 2x-y+z=2$
D)$ pi$ non è determinato in modo unico
E)il piano $ pi$ passa per il punto $ (2,1,1) $

come faccio a verificare le soluzioni che mi vengono proposte?
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda giovx24 » 14/06/2018, 18:35

ciao!
per prima cosa devi trovare le equazioni della retta r, si scrivono facilmente in forma parametrica, così avrai le coordinate del vettore che indica la direzione della retta.
ricorda che per essere ortogonale al piano tali coordinate devono essere uguali a quelle del vettore normale di $pi$ (i coefficienti dei termini x,y,z dell'equazione del piano).
mentre per verificare l'appartenenza di un punto ad un piano devi semplicemente sostituire le coordinate del punto nell'equazione del piano
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 20:00

trovo l'equazione della retta r:
dati i punti (3,1,0) (2,1,1)
applico la formula per poter trovare l'equazione parametrica della retta:
$ { ( x=x_1+t(x_2-x_1) ),( y=y_1+t(y_2-y_1) ),( z=z_1+t(z_2-z_1) ):} $
$ { ( x=3+t(2-3) ),( y=1+t(1-1) ),( z=0+t(1-0) ):} $
$ { ( x=3-t ),( y=1 ),( z=t ):} $
come devo andare avanti?
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda giovx24 » 14/06/2018, 20:16

bene,
i parametri direttori della retta sono quindi $(-1,0,1)$

A) l'equazione del piano $pi$ è $x-z = 0$ pertanto i parametri direttori di $pi$ sono $(1,0,-1)$, confrontandoli con i parametri direttori della retta si vede subito che i due vettori sono linearmente dipendenti questo significa che la retta e il piano sono ortogonali, inoltre, sostituendo le coordinate del punto $(1,1,1)$ nell'equazione $x - z = 0$ si ottiene $0 = 0$ (il punto appartiene al piano).

la prima risposta è esatta.
per verificare che le altre non sono corrette devi procedere in maniera simile
ciao!
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 22:25

ciao,
considerando la risposta c noto che sostituendo nell'equazione (1,1,1) ottengo 0=0 quindi anche questo punto appartiene al piano?
$ pi: 2x-y+z $
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda giovx24 » 14/06/2018, 23:06

il punto appartiene a quel piano, ma la risposta (c) è errata in quanto la retta non è ortogonale a esso
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 23:23

giovx24 ha scritto:il punto appartiene a quel piano, ma la risposta (c) è errata in quanto la retta non è ortogonale a esso


ok, penso di esserci:
per verificarlo mi muovo nel seguente modo:
considero i parametri direttori del piano$ pi=2x-y+z$ che sono:(2,-1,1)
confronto con i parametri direttori della retta (-1,0,1)
verifico se sono linearmente dipendenti o indipendenti:
se sono linearmente dipendenti sono ortogonali mentre se sono linearmente indipendenti come sono?(paralleli?)
in questo caso ottengo:
$ { ( t_2=0 ),(t_1=0 ),( t_1=-t_2 ):} $
concludo che sono linearmente indipendenti
grazie! :D
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda giovx24 » 14/06/2018, 23:28

se i due vettori sono linearmente indipendenti puoi solo concludere che la retta e il piano non sono ortogonali
la condizione di parallelismo piano/retta impone che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a 0
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 23:31

perfetto grazie mi sei stato di grande aiuto! :smt023
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Re: esercizio di geometria e algebra lineare

Messaggioda giovx24 » 14/06/2018, 23:36

prego!
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