Convergenza serie con arcotangente

Messaggioda mbistato » 14/06/2018, 16:34

Ciao ragazzi. Sono rimasto bloccato con lo studio della convergenza di questa serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2$$

Ho provato con il criterio del confronto ma non trovo nulla di buono.
Dato che $\arctan(x)\geq\frac{\pi}{4}x$ per ogni x in [0,1] ottengo:

$$\begin{array}{l}
\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2\leq \left(\frac{1}{n}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2=\\
=\frac{1}{n}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2=\\
=\left(1-\frac{\pi}{4}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n\end{array}$$

Ma questa ultima serie diverge! Qualche alternativa?
mbistato
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Re: Convergenza serie con arcotangente

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 17:00

Ciao mbistato,

Si ha:

$1/n - arctan(1/n) $ \( \displaystyle \sim \) $ \frac{1}{3n^3} $

$e^{1/n} - 1 $ \( \displaystyle \sim \) $ \frac{1}{n} $

Quindi la serie proposta si comporta come la serie $ 1/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $ che è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $, notoriamente convergente. Si potrebbe anche generalizzare il discorso alla serie seguente:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} [\frac{1}{n} - \arctan(frac{1}{n})](e^{\frac{1}{n}}-1)n^x $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{4 - x} $

L'ultima serie scritta converge se $ 4 - x > 1 \iff x < 3 $
pilloeffe
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Re: Convergenza serie con arcotangente

Messaggioda mbistato » 15/06/2018, 08:48

Certo! Bastava studiare separatamente le due successioni. Io invece mi intestardivo a trattarla come un'unica successione.
Grazie mille!
mbistato
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