Salve a tutti, ho un dubbio essenzialmente matematico che nasce da una questione di meccanica quantistica, spero non me ne vogliate se posto in questa sezione usando la notazione dei fisici.
Comunque, vorrei sapere se in generale, dato un vettore \(\displaystyle |\psi\rangle \) in uno spazio di Hilbert, si può capire come agisce l'esponenziale di un operatore sullo stato, a patto di conoscere l'azione dell'operatore sullo stesso stato. Ovvero, cosa possiamo dire di \(\displaystyle \exp (\hat A)|\psi\rangle \) conoscendo \(\displaystyle |\psi'\rangle=\hat A|\psi\rangle \).
In particolare, mi interessa il caso in cui tale vettore sia autovettore dell'operatore, cioè se \(\displaystyle \hat A|\psi\rangle=a|\psi\rangle \), (\(\displaystyle a\in\mathbb{C} \)).
Parte di fisica: il caso concreto sarebbe l'azione dell'operatore di evoluzione temporale per sistemi con hamiltoniane indipendenti dal tempo su autostati dell'energia, ovvero \(\displaystyle \exp(-i\hat H t/\hbar)|\psi_n\rangle \), che dovrebbe restituire \(\displaystyle \exp(-iE_n t/\hbar)|\psi_n\rangle \) dove $E_n$ è l'autovalore di energia associato all'autostato $n$-esimo.
Grazie in anticipo!