Esercizio su autovettori

Messaggioda Keanu88 » 14/06/2018, 22:26

Ciao a tutti...
sono alle prese con questo esercizio da ormai 15 giorni e non riesco a venirne a capo

Sia $A$ una matrice quadrata con un autovettore $\nu$ relativo all’autovalore $\lambda$ = 2.
a) $\nu$ è anche autovettore della matrice $A^3$
b) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A^3$ − $3*A$
c) $\nu$ è autovettore della matrice $A^2$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ =$sqrt(2)$
d) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A$ + $2*I$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ = $2$

Le risposte corrette date dal mio prof. sono:
a) FALSA
b) VERA
c) VERA
d) FALSA

Ho provato e riprovato ma a me risultano VERA, VERA, FALSA, FALSA...dov'è che sbaglio?
Keanu88
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 7
Iscritto il: 14/06/2018, 22:16

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Bokonon » 14/06/2018, 23:14

Non sbagli...se il problema è quello.
Bokonon
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 189 di 284
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda marcorossi94 » 14/06/2018, 23:18

a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$
marcorossi94
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 20
Iscritto il: 20/12/2017, 19:32

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Keanu88 » 15/06/2018, 09:32

marcorossi94 ha scritto:a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$


E' esattamente come ho ragionato io...invece per la 4 c) ho usato una matrice triangolare per trovare almeno un caso in cui non è soddisfatta per cui deve essere FALSA...questa è la matrice triangolare che ho usato:
$A$=$((1,3),(0,2))$ ...gli autovalori sono $1$ e $2$...a $2$ corrisponde l'autovettore $v$
$A^2$=$((1,9),(0,4))$ ...gli autovalori sono $1$ e $4$...a $4$ corrisponde l'autovettore $v$...l'autovalore $sqrt(2)$ non c'è in questo caso, per cui la 4 c) non è VERA sempre e quindi è FALSA.

Ma ovviamente si potrebbe discuterne come hai fatto tu, ragionando per tutte le matrici $A^2$ per vedere che, detto $v$ l'autovettore di $A$ corrispondente all'autovalore $\lambda$, l'autovalore di una matrice $A^2$ corrispondente allo stesso autovettore $v$ è $\lambda^2$ e non $sqrt(λ)$
Keanu88
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 7
Iscritto il: 14/06/2018, 22:16

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Magma » 15/06/2018, 10:04

marcorossi94 ha scritto: se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile, cioè esiste $D:=B^(-1)AB ,qquad B in GL_n (RR)$; quindi

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1) $
Ultima modifica di Magma il 15/06/2018, 13:04, modificato 4 volte in totale.
Magma
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1069 di 1135
Iscritto il: 03/09/2015, 14:15

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Keanu88 » 15/06/2018, 12:37

Magma ha scritto:
marcorossi94 ha scritto: se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile:

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1), qquad B in GL_n (RR)$

Questo cosa implica?
Keanu88
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 7
Iscritto il: 14/06/2018, 22:16

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Magma » 15/06/2018, 12:56

Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente :roll:
Magma
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1074 di 1135
Iscritto il: 03/09/2015, 14:15

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Bokonon » 15/06/2018, 14:01

Magma ha scritto:Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.

Falso
Bokonon
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 191 di 284
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Magma » 15/06/2018, 14:15

Bokonon ha scritto:Falso

Nutella! :-D
Magma
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1075 di 1135
Iscritto il: 03/09/2015, 14:15

Re: Esercizio su autovettori

Messaggioda Keanu88 » 15/06/2018, 14:43

Magma ha scritto:Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente :roll:

Ma il fatto che sia diagonalizzabile o meno non influisce sulla definizione di autovalore e quindi su quello che ha detto marcorossi94...o sbaglio?
Keanu88
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 7
Iscritto il: 14/06/2018, 22:16

Prossimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 12 ospiti