Determinare l'equazione della conica

Messaggioda Untiziosuinternet » 11/07/2018, 19:07

Ciao a tutti,
sono in difficoltà con un esercizio di geometria che richiede di :

individuare l'equazione della conica tangente alla retta x-y-1=0 in (2,1) e passante per i punti A(-1,0) B(0,3) C(0,-3)

Purtroppo non so neanche da dove iniziare perché sulle dispense della prof non si capisce niente.
So solo che centra qualcosa lo studio del fascio di una conica.

P.S.
Se avete del materiale da condividermi sulle coniche mi sarebbe di grande aiuto!
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Re: Determinare l'equazione della conica

Messaggioda dissonance » 12/07/2018, 01:03

prova a iniziare da questo pdf di Candilera, Padova
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Re: Determinare l'equazione della conica

Messaggioda sandroroma » 13/07/2018, 19:00

Si tratta del più classico degli esercizi sulle coniche: determinare una conica di cui si conoscono 5 punti.
I punti sono nell'ordine :
$A(-1,0),B(0,3),C(0,-3),D(2,1),D(2,1)$[il punto D è ripetuto perché è punto di tangenza e conta come doppio]
Con i punti $A,B,D,D$ si possono determinare due coniche degeneri e quindi spezzate in due rette che sono:
(AB,DD) e (AD,BD).
Simbolicamente si può scrivere l'equazione del fascio di coniche così determinato come:
1) $\lambda(AB*DD)+\mu(AD*BD)=0$
A questo punto devi calcolare le equazioni delle rette $AB,DD,AD,BD$, tenendo presente che la retta
$DD$ è la tangente alla conica in D come indicato nel testo. Sostituendo le equazioni in tal modo trovate
ed imponendo poi il passaggio per il punto C potrai avere una relazione tra $\lambda , \mu$
che sostituita nella (1) ti porta al risultato voluto.
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Re: Determinare l'equazione della conica

Messaggioda Untiziosuinternet » 14/07/2018, 17:36

sandroroma ha scritto:Si tratta del più classico degli esercizi sulle coniche: determinare una conica di cui si conoscono 5 punti.
I punti sono nell'ordine :
$A(-1,0),B(0,3),C(0,-3),D(2,1),D(2,1)$[il punto D è ripetuto perché è punto di tangenza e conta come doppio]
Con i punti $A,B,D,D$ si possono determinare due coniche degeneri e quindi spezzate in due rette che sono:
(AB,DD) e (AD,BD).
Simbolicamente si può scrivere l'equazione del fascio di coniche così determinato come:
1) $\lambda(AB*DD)+\mu(AD*BD)=0$
A questo punto devi calcolare le equazioni delle rette $AB,DD,AD,BD$, tenendo presente che la retta
$DD$ è la tangente alla conica in D come indicato nel testo. Sostituendo le equazioni in tal modo trovate
ed imponendo poi il passaggio per il punto C potrai avere una relazione tra $\lambda , \mu$
che sostituita nella (1) ti porta al risultato voluto.


Grazie mille per la risposta. Ho provato a farlo e per il momento non mi riesce la conica che cercavo (probabilmente e' solo una questione di calcoli), ma comunque ho iniziato ad inquadrare meglio l'argomento. Quindi avrei delle domande in merito ai passaggi da svolgere per risolvere l'esercizio:
1)perche' se in un punto si trova una tangenza esso viene ripetuto 2 volte?
2)perche' dobbiamo risalire a 2 coniche degeneri e perche' nel farlo si sono scelte quelle formate dalle rette (AB,DD) , (AD,BD)?
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Re: Determinare l'equazione della conica

Messaggioda Untiziosuinternet » 16/07/2018, 14:45

Piccolo aggiornamento:
Studiando e facendo una piccola ricerca ho capito il perché sia della 1) che della 2).
1)perché essendo un punto con molteplicità 2 (ovvero due punti coincidenti) si forma una retta tangente ovviamente;
2)non è necessario risalire a 2 coniche degeneri per individuare il fascio ma facendolo i calcoli si semplificano.
ho capito che per studiare il fascio ho bisogno di 4 punti (che possono eventualmente coincidere tra loro) e non più di 4, per 5 punti o più passa solo una conica.
Per la seconda parte della domanda 2) non so ancora rispondere correttamente.

Quindi un altra domanda mi sorge spontanea.
Se il testo mi ha dato 5 punti distinti per individuare il fascio di coniche perché non posso sin da subito individuare la conica che cerco? ipotizzando che non si possa fare perché utilizzare proprio ABD? non potevo utilizzare ACD?
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