esercizio geometria

Messaggioda cri98 » 13/07/2018, 14:50

quando mi viene assegnato un sistema come devo agire per poter verificare se rappresenta un punto, una retta o un piano?

esempio:
$ { ( 3x-2y+z-2=0 ),( 2x+3y-2z+1=0 ),( x-5y+3z-3=0 ):} $

1) è una piano passante per l'origine

2) è un punto

3)è una retta che non passa per l'origine

4)è una retta passante per l'origine

5) è piano che non passa per l'origine


per verificare se passa o meno per l'origine basta considerare il vettore (0,0,0) e risolvere il sistema, ottengo che non passa per l'origine.
ma cosa rappresenta un piano? una retta? un punto?
come faccio a stabilirlo?


Grazie a tutti!
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Re: esercizio geometria

Messaggioda niccoset » 13/07/2018, 15:09

Devi risolvere il sistema e valutare, in base alla soluzione che hai trovato, se questa rappresenta un punto, una retta o un piano.
Se è un punto in $ RR^3 $ avrai tre coordinate ben definite $ (x_1, x_2, x_3)$, se è una retta avrai che una delle tre coordinate sarà un parametro libero e così via.
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Re: esercizio geometria

Messaggioda cri98 » 13/07/2018, 17:36

ciao niccoset
seguendo il tuo consiglio ho cercato di risolvere il sistema:

applicando il metodo di Gauss ottengo il seguente sistema:
$ { ( 3x-2y+z-2=0 ),( 13y-8z+7=0 ):} $

$ { ( z=-3x+2y+2 ),( 13y-8(-3x+2y+2)=0 ):} $

$ { ( z=-3x+2y+2 ),( y=8x-3):} $

a questo punto, se inserisco il valore di y all'interno della prima equazione non riesco a concludere quali sono le soluzioni, puoi darmi una mano? dove sto sbagliando?


Grazie!
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Re: esercizio geometria

Messaggioda niccoset » 13/07/2018, 18:41

cri98 ha scritto:applicando il metodo di Gauss ottengo il seguente sistema:
$ { ( 3x-2y+z-2=0 ),( 13y-8z+7=0 ):} $

Fin qui va bene. Adesso hai un sistema di 2 equazioni in 3 incognite. Si tratta dunque di ricavare due incognite in funzione dell'altra incognita (che sarà dunque il parametro libero). Prova ad esempio a ricavarti le incognite y e z.
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Re: esercizio geometria

Messaggioda cri98 » 16/07/2018, 08:48

ciao, niccoset
grazie per la risposta

allora, trovo le incognite y e z:

$ { ( 2y=3x+z-2 ),( 8z=13y+7 ):} $

$ { ( y=3/2x+1/2z-1 ),( z=13/8y+7/8 ):} $

sostituisco la seconda equazione all'interno della prima
$ { ( y=3/2x+1/2(13/8y+7/8)-1 ),( z=13/8y+7/8 ):} $

ottengo:
$ { ( y=8x-3 ),( z=13x-39/8 ):} $

a questo punto come continuo?

Grazie! :D
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Re: esercizio geometria

Messaggioda niccoset » 16/07/2018, 13:03

Mi sembra corretto, apparte il fatto che credo ti sia scordato di sommare $7/8$ nel calcolo di $z$. A questo punto $x$ è il tuo parametro libero (ovvero $x=t$) e quella che hai ottenuto è l'equazione di una retta. Non ti resta che decidere, analizzando l'espressione parametrica della retta, qual è la risposta corretta da scegliere.
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Re: esercizio geometria

Messaggioda anto_zoolander » 17/07/2018, 03:39

Intanto escluso che la $a$ sia verificata noti subito che la prima equazione è somma della seconda e della terza quindi quel sistema è equivalente al sistema

${(2x+3y-2z=1),(x-5y+3z=3):}$

Ora sai che la giacitura di questo sottospazio è generata dalle soluzioni di

${(2x+3y-2z=0),(x-5y+3z=0):}$

Per prima cosa va notato che due piani in $RR^3$ possono essere solo paralleli(propriamente o meno) o incidenti.
Consideriamo la matrice

$[(2,3,-2),(1,-5,3)]$

La quale ha visibilmente rango $2$ pertanto genererà una giacitura di dimensione $3-2=1$
Chiaramente la matrice completa avrà ancora rango $2$ considerato che si aggiunge una colonna che non altererà in alcun modo il rango essendo già massimo, pertanto sarà compatibile(ammetterà almeno una soluzione).

In conclusione il sistema individua un sottospazio affine di dimensione $1$ ossia una retta.
Non è sempre necessario svolgere i conti, qualora non fossero esplicitamente richiesti
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: esercizio geometria

Messaggioda cri98 » 17/07/2018, 14:03

ciao, niccoset e anto_zoolander

Grazie per le risposte.
quindi anto_zoolander se ottengo un sottospazio affine di dimensione 1 ottengo una retta,
quindi se ad esempio ottengo un sottospazio affine di dimensione 2 rappresenta un piano? nel caso ottengo un sottospazio affine di dimensione 3 rappresenta un punto?

Grazie!! :D :smt023
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Re: esercizio geometria

Messaggioda niccoset » 17/07/2018, 14:57

cri98 ha scritto:
quindi se ad esempio ottengo un sottospazio affine di dimensione 2 rappresenta un piano?

Si

cri98 ha scritto:nel caso ottengo un sottospazio affine di dimensione 3 rappresenta un punto?

No, la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una base dello spazio. Uno spazio vettoriale di dimensione $0$ è costituito da un solo punto.
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Re: esercizio geometria

Messaggioda anto_zoolander » 17/07/2018, 15:19

in uno spazio affine $(A,V)$ dove $A$ è un insieme di punti e $V$ uno spazio vettoriale si definisce $dimA=dimV$ in particolare in uno spazio affine di dimensione $dimA=n$ e $E$ sottospazio affine, si definiscono:

$dimE=0$ allora è un punto affine(punto)
$dimE=1$ allora è una retta affine(retta)
$dimE=2$ allora è un piano affine(piano)
$dimE=3$ allora è un solido affine(solido)


la giacitura è intuitivamente quello che dona 'gradi di libertà' ai punti di un insieme.
Di fatto in uno spazio affine e un riferimento $R(O,B)$ si ha una biunivocità $a:A->V$ appare dunque chiaro che considerato l'isomorfismo delle coordinate $C_B:K^n->V$ che associa $C_B(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kv_k$ dove $B={v_1,...,v_n}$ è una base di $V$ possiamo considerare l'applicazione

$C_B^(-1)circa:A->V->K^n$

questo associa ad un punto $P$ le sue coordinate $P(x_1,...,x_n)$ rispetto al riferimento fissato.
Pertanto da' un'idea del massimo numero di direzioni indipendenti su cui possiamo muoverci
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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