scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda AndreaTorre » 13/07/2018, 18:18

Salve!
Ho il seguente integrale doppio da svolgere e trovo problemi nello scomporre l'intervallo di integrazione:
$intint_X (xy)/(x^2+y^2+1)dxdy$, essendo $X={(x,y);x>=0, x^2+y^2<=4, x^2+(y-1)^2>=1}$

$ x^2+y^2=4$ è una circonferenza di centro $C=(0,0)$ e $r=2$

$x^2+(y-1)^2=1$ è una circonferenza di centro $C'=(0,1)$ e $r=1$
Disegnando il grafico dovrebbe venire una cosa così:
Immagine
Definisco $X_1$:
si vede subito che la x varia tra 0 e 1.
Esprimo le disequazioni delle circonferenze in funzione della y: circonferenza $C$: $x^2+y^2<=4<=>y<=sqrt(4-x^2);$ circonferenza $C'$: $x^2+(y-1)^2>=1<=>y^2-2y>=-x^2=>y>=-x^2,y>=-x^2+2$, ovvero, $y<x^2uuy>x^2+2$
$X_1={(x,y):0<=x<=1,y<=x^2uuy>=x^2+2,y<=sqrt(4-x^2)}$.
Onestamente non sono convinto del procedimento che ho seguito fin qui... Cosa ne pensate?
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda seb » 13/07/2018, 21:47

AndreaTorre ha scritto:Esprimo le disequazioni delle circonferenze in funzione della y: circonferenza $C$: $x^2+y^2<=4<=>y<=sqrt(4-x^2);$ circonferenza $C'$: $x^2+(y-1)^2>=1<=>y^2-2y>=-x^2=>y>=-x^2,y>=-x^2+2$, ovvero, $y<x^2uuy>x^2+2$
Ma ti pare di aver espresso delle circonferenze? (La seconda in particolare)
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda AndreaTorre » 14/07/2018, 11:31

Eh si, sapevo di aver fatto male...ma cosa ho sbagliato? Immagino che avrei dovuto prima esprimere in coordinate polari.
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda seb » 14/07/2018, 18:10

Sorvolando sul fatto che le disequazioni possono rappresentare cerchi e non circonferenze, l'equazione \(y=\sqrt{4-x^2}\) rappresenta una semicirconferenza e \(y=x^2\), \(y=x^2+2\) delle parabole. Dovresti ben sapere che la doppia implicazione \(y^2=4-x^2\iff y=\sqrt{4-x^2}\) è falsa; infatti \(y^2=4-x^2\) è soddisfatta pure da \(y=-\sqrt{4-x^2}\). Poi non ho capito perché, se la prima disequazione la risolvi isolando la \(y\) ed estraendo la radice, non fai lo stesso con la seconda. Si ha infatti \(x^2+(y-1)^2=1\implies(y-1)^2=1-x^2\implies y-1=\pm\sqrt{1-x^2}\implies y=1\pm\sqrt{1-x^2}\) dove — ricordo — s'è tenuto conto del doppio segno.
Il passaggio in coordinate polari o meno non ha nulla a che fare con gli errori che hai commesso. Puoi benissimo scegliere di risolvere l'esercizio in coordinate cartesiane. Considerando le osservazioni che ho riportato sapresti ora come svolgere?
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda AndreaTorre » 14/07/2018, 18:48

Certo ho fatto un erroraccio..adesso mi verrebbe da rispondere che essendo $y^2<=4-x^2<=>-sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2)$
Invece per la seconda $x^2+(y-1)^2>=1<=>y<=1-sqrt(1-x^2)uuy>=1+sqrt(1-x^2)$
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda seb » 14/07/2018, 19:18

Simbolo a parte, certamente; prosegui pure
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda AndreaTorre » 14/07/2018, 19:30

Adesso non so come procedere..non so come fare ad esprimere le disequazioni ,$-sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2)$ e $y<=1-sqrt(1-x^2)uuy>=1+sqrt(1-x^2)$, con un unico intervallo di integrazione della y....
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda seb » 14/07/2018, 20:23

Non sai come fare perché non è possibile. Quell'insieme non è normale rispetto alle ascisse. Tuttavia puoi semplicemente spezzare l'insieme d'integrazione in tre parti. Altrimenti (e più velocemente) rendi \(y\) la variabile indipendente ed è sufficiente spezzare in unicamente due parti il dominio.
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda AndreaTorre » 14/07/2018, 20:42

seb ha scritto:Altrimenti (e più velocemente) rendi \(y\) la variabile indipendente ed è sufficiente spezzare in unicamente due parti il dominio.

Ovvero? Cosa intendi esattamente?
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Re: scomposizione intervallo di integrazione

Messaggioda seb » 14/07/2018, 23:23

Relativamente a \(y\in[-2,0]\) e \(y\in[0,2]\) il dominio è normale rispetto alle ordinate.
Ad ogni modo non m'è ben chiaro quali siano i tuoi dubbi, cosa ti blocchi, nemmeno se l'ostacolo è pratico o teorico. Di conseguenza non posso indirizzarti imediatamente. Prova a indicare quale strada intraprenderesti e ad esser chiaro su quali sono le difficoltà, così risolviamo più in fretta.
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