Serie di Laurent

Messaggioda Dal » 13/07/2018, 18:16

Da tutto il giorno sto provando a calcolare lo sviluppo in serie di Laurent di
$ f(z)=1/((z^3)-1) $ con centro z=1 nel disco forato;
ho provato a scomporre il denominatore e calcolare i singoli sviluppi di
$ 1/(z-e^(iπ2/3))= 1/a sum_(k = \0...∞)(-1/a)^k (z-1)^k $ e
$ 1/(z-e^(-iπ2/3))= 1/b sum_(k = \0...∞)(-1/b)^k (z-1)^k $ , dove $ a=1-e^(iπ2/3) $ e $ b=1-e^(-iπ2/3) $
poi eseguire il prodotto di Cauchy.
Il problema è che così facendo trovo
$ f(z)= sum_(k = \0...∞)(-1)^k/(rho ^(k+2)) (z-1)^(k-1)sum_(j = \0...k)e^(ivartheta (2j-k)) $ ,
, dove $ rho $ è il modulo di b e $ vartheta $ è l'argomento di b, quindi i coefficienti di $ (z-1)^k $ sono sommatorie (forse un po' improbabile) e così non riesco a trovare il raggio di convergenza. Qualcuno può consigliarmi un metodo migliore per ottenere lo sviluppo oppure correggere quello che ho usato?
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Re: Serie di Laurent

Messaggioda gugo82 » 13/07/2018, 21:19

Innanzitutto, osserva che $1$ è un polo semplice, quindi nell’espansione di Laurent deve comparire solo la prima potenza negativa di $z-1$.
Fattorizzando il denominatore trovi:
\[
f(z) = \frac{1}{z-1}\ \frac{1}{z^2+z+1}
\]
col secondo fattore regolare in $1$; quindi se riesci a scrivere l’espansione di Taylor del secondo fattore vinci facile. :wink:
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