Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Benson » 14/07/2018, 10:19

Ciao ragazzi, sono nuovo del forum e vorrei chiedervi aiuto per la risoluzione di questo tipo di esercizi sulla geometria delle masse:
Considerare la seguente figura piana di R=8cm, la densità superficiale del quadrato è u=2g/cm^2, la densità lineare delle sbarre è v=4g/cm^2, la massa di ciascun punto è 1g.Determinare:
1)una/la terna centrale di inerzia
2)una terna principale d'inerzia con assi paralleli alla precedente
3)i momenti centrali e principali d’inerzia corrispondenti
Ringrazio chiunque mi voglia dare una mano
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda professorkappa » 14/07/2018, 13:47

un tentativo di soluzione tuo?
Ed ero gia' vecchio quando vicino a Roma, a Little Big Horn, Capelli Corti generale ci parlo' all'Univerista dei fratelli Tute Blu che seppellirono le asce. Ma non fumammo con lui, non era venuto in pace
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Benson » 14/07/2018, 13:59

Ho calcolato il baricentro della figura calcolandomi prima quello della 'piastra' e delle due aste, poi ho applicato la classica formula del centro di massa prendendo come sistema du riferimento il classico asse cartesiano facendo coincidere l'origine con lo spigolo in basso a sinistra,ho usato la formula per le masse puntiformi usando i singoli baricentri(spero di essermi spiegato). In tale sistema di riferimento il baricentro mi viene in coordinate cartesiane(7,4;7,4).Ho preso il baricentro e ho posto un sistema di riferimento che da quello che ho capito dalla teoria dovrebbe essere quello centrale. Per quello di inerzia concretamente non saprei procedere, so dalla teoria che dovrei diagonalizzare la matrice di inerzia che non saprei scrivere, il fatto è che sono abituato a risolvere questi esercizi dalla scienza delle costruzioni dove erano esercizi sulle geometria delle aree che erano un pelo diversi:-/
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Vulplasir » 14/07/2018, 19:03

Non erano un pelo diversi, erano completamente uguali...Possibile che studiate tutto per compartimenti stagni? Scienza delle costruzioni e meccanica razionale sono la stessa cosa, la teoria della geometria delle aree è la stessa, la cinematica dei corpi rigidi è la stessa, tutto è lo stesso...ti sei chiesto perché si chiama geometria delle aree in scienza delle costruzioni e geometria delle masse qui? qual è la differenza?
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Benson » 14/07/2018, 19:12

Infatti l'esame di fisica matematica è preopedeutico a scienza delle costruzioni solo che il prof ci ha fatto comunque svolgere le prove in itinere per l'esonero...devo dare questo esame per verbalizzarlo. Comunque il nesso fra gli esercizi lo vedo,ma non riesco a finalizzare. Se qualcuno mi può fare la cortesia di svolgerlo mi farebbe un gran piacere visto che gli esercizi del prof sono tutti così, cambiano solo le geometrie delle forme che da, quindi fatto uno sono fatti tutti
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Vulplasir » 14/07/2018, 19:18

Devi scrivere la matrice d'inerzia. Conosci la matrice d'inerzia? Quali sono i suoi componenti? Applica queste conoscenze, sforzati un po, che fatto uno son fati tutti.
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Benson » 14/07/2018, 19:37

Lo so che la devo scrivere, nella geometria delle aree se per esempio avevo una figura unione di due rettangoli, per scrivere ad esempio il momento di inerzia rispetto ad x, sommavo il momento di inerzia del singolo rettangolo(bh^3/12) e il prodotto fra l'area del rettangolo e il quadrato della distanza sull'asse x fra il baricentro di quel rettangolo e quello della seziine totale, il momento di inerzia totale era la somma di questa operazione per ogni rettangolo in cui ho scomposto la sezione(spero di essermi spiegato).Una volta scritta la diagonalizzavo,gli autovalori erano i momenti principali, gli autovettori le direzioni principali invece. Poi coi raggi di inerzia disegnavo anche l'elisse ma non credo servi qua. Comunque ora che ci sono le masse sto andando un po' in confusione, senza contare che la traccia vuole che la terna principale abbia assi paralleli a quella centrale e non mi è mai venuta così. Mi sono impegnato ma non ci sono riuscito perciò ho chiesto aiuto su questo forum
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Shackle » 14/07/2018, 21:16

Metti l'origine delle coordinate nel vertice in basso a sinistra, e gli assi (x,y) orientati al solito modo : x verso destra, y verso l'alto.
Non è un caso che le coordinate del baricentro siano uguali. La bisettrice del primo quadrante , di equazione :

$y=x$

è un asse di simmetria del sistema piano dato, ti sembra? Quindi $G$ deve giacere su questa retta. Ti ricordo ora un paio di cose, che dovresti sapere dalla teoria :

1) data una distribuzione piana di masse (o aree) , una qualunque retta perpendicolare al piano su cui giacciono le masse è un asse principale di inerzia, relativamente al punto di intersezione col piano .

2) dato un asse principale di inerzia relativo a un certo punto P , se questo asse passa per il centro di massa esso è asse principale di inerzia per tutti i suoi punti ( Anzi si dimostra che la condizione è necessaria e sufficiente : se una retta è asse principale per tutti suoi punti, essa deve contenere G ) .

Queste due nozioni, unitamente al fatto che l'asse di simmetria coincidente con la diagonale prima detta è asse principale di inerzia per G , quindi è asse centrale di inerzia , ti permettono di concludere che :

a) trovato G , l'asse di simmetria , la normale al piano in G , e la normale all'asse di simmetria , che è parallela alla diagonale , che chiamo secondaria, di equazione :

$y=-x$

costruiscono la terna centrale di inerzia richiesta. Ce n'è una sola .
Prendi ora un qualunque punto dell'asse di simmetria , e conduci per questo punto una parallela alla diagonale secondaria ora detta . La terna formata da queste due rette, più il terzo asse perpendicolare al piano nel punto preso, è una delle infinite terne principali che si possono costruire.

I momenti centrali e principali richiesti , li dovresti calcolare facilmente, anche se i calcoli sono un po' laboriosi.

Scienza delle costruzioni e meccanica razionale sono la stessa cosa


non è mica vero .
Ho notato che le persone che affermano che tutto è predeterminato e non possiamo fare nulla per cambiarlo, guardano prima di attraversare la strada . ( Stephen Hawking - Saggi, 1993)
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Benson » 14/07/2018, 21:23

Grazie per la risposta, mentre l'asse che ho centrato nel centro di massa trovata ho fatto bene a presupporlo centrale di inerzia giusto?
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Re: Esercizio di fisica matematica per l'esame

Messaggioda Vulplasir » 14/07/2018, 21:41

non è mica vero

Invece si, meccanica dei continui, meccanica dei solidi/scienza delle costruzioni, fluidodinamica sono tutte niente'altro che "meccanica razionale", le equazioni generali e il metodo è lo stesso in tutte, le equazioni di bilancio della fluidodinamica sono le stesse di quelle della meccancia dei solidi, i "momenti di inerzia" della scienza delle cotruzioni sono gli stessi di quelli dell'esame di "meccanica razionale", la teoria analitica dei vincoli fatta a "meccanica razionale" dice analiticamente quello che a scienza delle costruzioni si fa per via grafica, gli spostamenti rigidi delle travi della scienza delle costruzioni sono gli stessi dei corpi rigidi generici della meccanica razionale...poi, equazioni di eulero, naver-stokes, beltrami-donati-mitchell, le generiche equazioni di bilancio di forze e momenti sono la stessa cosa scritta in salse diverse...se uno lo capisse farebbe metà della fatica a ristudiarsi sempre la stessa roba.
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