Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 10/08/2018, 08:11

Erasmus_First ha scritto:Nello spazio, di rette di direzione perpendicolari ad una data retta in un medesimo suo punto ..."haccene millanta (che tutta notte canta)." (direbbe Boccaccio)

Ma è unica la perpendicolare a DUE rette date, cioè al piano da esse individuato, ed il piano di $veca,vecb$ è lo stesso di quello di $veca,vecb_1$: i due risultati hanno quindi la stessa direzione. Per il verso ci si riferisce alla definizione che si è data; per il modulo si nota che
$|veca xx vecb|=ab sin alpha$
$|veca xx vecb_1|=ab_1sin90°=abcos|90°-alpha|*1=ab sin alpha$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 13/08/2018, 01:39

Riprendo il discorso con due girni di ritardo riaspetto a quanto avevo annunciato nell'ultimo mio intervento.
Occhio: parto da lontano!

1 Componente di un vettore nella direziopne di un altro.
Dati nello spazio tridimensionale i due vettori a e b, sia PA il segmento orientato da P ad A rappresentativo di a e sia PB il segmento orientato da P a B rappresentativo di b.
Sia α il piano per A perpendicolare a PB e sia Q la sua intersezione con PB.
Se a è 0 oppure PA è perpendicolare a PB il punto Q coincide con P stesso e allora la componente di a sulla direzione di b è 0; altrimenti si consideri la lunghezza del segmento PQ orientatao da P a Q e la si prenda positiva se il verso da P a Q è concorde con quello da P a B, negativa se invece è discorde. E questa la componente di a nella direzione di b e la chiameremo $a_b$.
Dati P, A e B, se PA orientato da P ad A è rappresentativo del vettore a e PB orientato da P a B è rappresentativo del vettore b, allora il segmento AB orientato da A a B è rappresentativo del vettore differenza dei dati vettori cioè di d = ba.
Allora con le posizioni.
a = $[a_x, a_y, a_z] = [x_A-x_P, y_A-y_P, z_A-z_P]$ e a = |a| =$sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2)$,
b = $[b_x, b_y, b_z] = [x_B-x_P, y_B-y_P, z_B-z_P]$ e b = |b| =$sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$
e quindi:
d = ba =$[b_x-a_x, b_y-a_y, b_z-a_z]$ e d = |d| =$sqrt((b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2)$
è facile calcolare $a_b$ che risulta
$a_b = (a^2+b^2 -d^2)/(2b) =((a_x^2+a_y^2+a_z^2)+(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-((b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2))/(2b)$;
$a_b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$. [*]
2 Prodotto scalare tra i vettori [b]a e b $p_s$ = a·b.
Per definizione il prodotto scalare $p_s$ = a·b + il prodotto della componente di a nella direzione di b (ossia di $a_b$ per il modulo di b).
Non è una operazione "interna" perché gli operandi sono vettori mentre il risultato è uno scalare.
a·b = $a_b·sqrt(b_x^2 + b_y^2 +b_z^2)$
Dalla [*] è allora immediato riconoscere che a·b =$a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$.
[continua...]
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 14/08/2018, 00:14

[continua dal precedente mio intervento]
Erasmus_First ha scritto:$a_b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$. [*]

3 Modulo del prodotto vettoriale
Conoscendo $a_b$ (cioè la componente di a nella direzione di b, come riportato nella citazione), è facile (con Pitagora) ricavare l'altezza –diciamola $h$ – del triangolo PAB rispetto al lato di lunghezza b = PB e quindi l'area del parallelogramma di lati consecutivi a = PA e b = PB (che è appunto il modulo del nostro prodotto vettoriale). Si trova
$(b·h)^2 = b^2·(a^2 – a_b^2) = (a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2) -(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)^2 =$
$=a_x^2b_y^2 +a_x^2b_z^2 + a_y^2b_x^2+a_y^2b_z^2 +a_z^2b_x^2 + a_z^2b_y^2 -2a_xb_xa_yb_y-2a_xb_xa_zb_z -2 a_yb_ya_zb_z) =$
$=(a_xb_y-a_yb_x)^2 +(a_yb_z-a_zb_y)^2+ (a_zb_x-a_xb_z)^2$;
|a × b | = $sqrt((a_xb_y-a_yb_x)^2 +(a_yb_z-a_zb_y)^2+ (a_zb_x-a_xb_z)^2)$.
Hanno questo modulo tutti i vettori che hanno per componenti una delle 6 permutazione di ciascuna delle 8 terne $[±(a_xb_y-a_yb_x), ±(a_yb_z-a_zb_y), ±(a_zb_x-a_xb_z)]$; ma una sola di queste 6·8 =48 terne è ortogonale ad entrambi i fattori ed ha il verso dato dalla "regola del cavatappi".

Abbiamo già visto che se il prodotto vettoriale fosse distributivo sarebbe;
$[a_x, a_y, a_z] × (b_x, b_y, b_z) = [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x)]$.
Il modulo di questo vettore è quello giusto.
Consideriamo allora questo vettore e mostriamo che è lui il prodotto vettoriale a × b in quanto, oltre al modulo, ha anche la direzione ed il verso voluti dalla definizione geometrica.

4 Controllo della direzione e del verso
a) Occorre che a × b sia ortogonale sia ad a che a b, cioè che risulti:
a · (a × b) = b · (a × b)= 0. In effetti si ha:
$[a_x, a_y, a_z] · [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x]=$
$=a_xa_yb_z-a_xa_zb_y + a_ya_zb_x-a_ya_xb_z +a_za_xb_y-a_za_yb_x = 0$;
$[b_x, b_y, b_z] · [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x]=$
$=b_xa_yb_z-b_xa_zb_y + b_ya_zb_x-b_ya_xb_z +b_za_xb_y-b_za_yb_x = 0$.
b) Se scegliamo un riferimento cartesiano tale che
• l'origine P dei segmenti orientati rappresentativi di a e b sia in [0, 0, 0],
• il termine A del segmento orientato rappresentativo del 1° fattore a stia sul semiasse positivo delle x e
• il termine B del segmento orientato rappresentativo del 2° fattore b stia nel piano (x, y) (nel quale è z=0)
il prodotto diventa del tipo:
$[a, 0, 0] × [b_x, b_y, 0] = [0, 0. a·b_y]$
nel quale è $a > 0$.
Giustamente la direzione del prodotto è quella dell'asse z e l'orientamento è quello per z crescenti se è $b_y > 0$ (e quello per z decrescenti se è $b_y < 0$).
Dunque è proprio
$[ a_x, a_y, a_z] × [b_x, b_y, b_z] = [a_yb_z-a_zb_x, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x]$
perché solo così è rispettata la definizione di prodotto vettoriale.

5 Verifica della proprietà distributiva rispetto alla somma
A questo punto, la verifica della proprietà distributiva rispetto alla somma è immediata:
(a × b) + (a × c) = $[a_yb_z-a_zb_x, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x] + [a_yc_z-a_zc_x, a_zc_x-a_xc_z, a_xc_y-a_yc_x]=$
$= [a_y(b_z + c_z) – a_z(b_x+c_x), a_z(b_x + c_x) – a_x(b_z+c_z), a_x(b_y+c_y)–a_y(b_x+c_x)]=$ a × (b + c) .
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