Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 10/08/2018, 08:11

Erasmus_First ha scritto:Nello spazio, di rette di direzione perpendicolari ad una data retta in un medesimo suo punto ..."haccene millanta (che tutta notte canta)." (direbbe Boccaccio)

Ma è unica la perpendicolare a DUE rette date, cioè al piano da esse individuato, ed il piano di $veca,vecb$ è lo stesso di quello di $veca,vecb_1$: i due risultati hanno quindi la stessa direzione. Per il verso ci si riferisce alla definizione che si è data; per il modulo si nota che
$|veca xx vecb|=ab sin alpha$
$|veca xx vecb_1|=ab_1sin90°=abcos|90°-alpha|*1=ab sin alpha$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 13/08/2018, 01:39

Riprendo il discorso con due girni di ritardo riaspetto a quanto avevo annunciato nell'ultimo mio intervento.
Occhio: parto da lontano!

1 Componente di un vettore nella direziopne di un altro.
Dati nello spazio tridimensionale i due vettori a e b, sia PA il segmento orientato da P ad A rappresentativo di a e sia PB il segmento orientato da P a B rappresentativo di b.
Sia α il piano per A perpendicolare a PB e sia Q la sua intersezione con PB.
Se a è 0 oppure PA è perpendicolare a PB il punto Q coincide con P stesso e allora la componente di a sulla direzione di b è 0; altrimenti si consideri la lunghezza del segmento PQ orientatao da P a Q e la si prenda positiva se il verso da P a Q è concorde con quello da P a B, negativa se invece è discorde. E questa la componente di a nella direzione di b e la chiameremo $a_b$.
Dati P, A e B, se PA orientato da P ad A è rappresentativo del vettore a e PB orientato da P a B è rappresentativo del vettore b, allora il segmento AB orientato da A a B è rappresentativo del vettore differenza dei dati vettori cioè di d = ba.
Allora con le posizioni.
a = $[a_x, a_y, a_z] = [x_A-x_P, y_A-y_P, z_A-z_P]$ e a = |a| =$sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2)$,
b = $[b_x, b_y, b_z] = [x_B-x_P, y_B-y_P, z_B-z_P]$ e b = |b| =$sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$
e quindi:
d = ba =$[b_x-a_x, b_y-a_y, b_z-a_z]$ e d = |d| =$sqrt((b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2)$
è facile calcolare $a_b$ che risulta
$a_b = (a^2+b^2 -d^2)/(2b) =((a_x^2+a_y^2+a_z^2)+(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-((b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2))/(2b)$;
$a_b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$. [*]
2 Prodotto scalare tra i vettori [b]a e b $p_s$ = a·b.
Per definizione il prodotto scalare $p_s$ = a·b + il prodotto della componente di a nella direzione di b (ossia di $a_b$ per il modulo di b).
Non è una operazione "interna" perché gli operandi sono vettori mentre il risultato è uno scalare.
a·b = $a_b·sqrt(b_x^2 + b_y^2 +b_z^2)$
Dalla [*] è allora immediato riconoscere che a·b =$a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$.
[continua...]
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 14/08/2018, 00:14

[continua dal precedente mio intervento]
Erasmus_First ha scritto:$a_b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/sqrt(b_x^2+b_y^2+b_z^2)$. [*]

3 Modulo del prodotto vettoriale
Conoscendo $a_b$ (cioè la componente di a nella direzione di b, come riportato nella citazione), è facile (con Pitagora) ricavare l'altezza –diciamola $h$ – del triangolo PAB rispetto al lato di lunghezza b = PB e quindi l'area del parallelogramma di lati consecutivi a = PA e b = PB (che è appunto il modulo del nostro prodotto vettoriale). Si trova
$(b·h)^2 = b^2·(a^2 – a_b^2) = (a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2) -(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)^2 =$
$=a_x^2b_y^2 +a_x^2b_z^2 + a_y^2b_x^2+a_y^2b_z^2 +a_z^2b_x^2 + a_z^2b_y^2 -2a_xb_xa_yb_y-2a_xb_xa_zb_z -2 a_yb_ya_zb_z) =$
$=(a_xb_y-a_yb_x)^2 +(a_yb_z-a_zb_y)^2+ (a_zb_x-a_xb_z)^2$;
|a × b | = $sqrt((a_xb_y-a_yb_x)^2 +(a_yb_z-a_zb_y)^2+ (a_zb_x-a_xb_z)^2)$.
Hanno questo modulo tutti i vettori che hanno per componenti una delle 6 permutazione di ciascuna delle 8 terne $[±(a_xb_y-a_yb_x), ±(a_yb_z-a_zb_y), ±(a_zb_x-a_xb_z)]$; ma una sola di queste 6·8 =48 terne è ortogonale ad entrambi i fattori ed ha il verso dato dalla "regola del cavatappi".

Abbiamo già visto che se il prodotto vettoriale fosse distributivo sarebbe;
$[a_x, a_y, a_z] × (b_x, b_y, b_z) = [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x)]$.
Il modulo di questo vettore è quello giusto.
Consideriamo allora questo vettore e mostriamo che è lui il prodotto vettoriale a × b in quanto, oltre al modulo, ha anche la direzione ed il verso voluti dalla definizione geometrica.

4 Controllo della direzione e del verso
a) Occorre che a × b sia ortogonale sia ad a che a b, cioè che risulti:
a · (a × b) = b · (a × b)= 0. In effetti si ha:
$[a_x, a_y, a_z] · [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x]=$
$=a_xa_yb_z-a_xa_zb_y + a_ya_zb_x-a_ya_xb_z +a_za_xb_y-a_za_yb_x = 0$;
$[b_x, b_y, b_z] · [a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y_a_yb_x]=$
$=b_xa_yb_z-b_xa_zb_y + b_ya_zb_x-b_ya_xb_z +b_za_xb_y-b_za_yb_x = 0$.
b) Se scegliamo un riferimento cartesiano tale che
• l'origine P dei segmenti orientati rappresentativi di a e b sia in [0, 0, 0],
• il termine A del segmento orientato rappresentativo del 1° fattore a stia sul semiasse positivo delle x e
• il termine B del segmento orientato rappresentativo del 2° fattore b stia nel piano (x, y) (nel quale è z=0)
il prodotto diventa del tipo:
$[a, 0, 0] × [b_x, b_y, 0] = [0, 0. a·b_y]$
nel quale è $a > 0$.
Giustamente la direzione del prodotto è quella dell'asse z e l'orientamento è quello per z crescenti se è $b_y > 0$ (e quello per z decrescenti se è $b_y < 0$).
Dunque è proprio
$[ a_x, a_y, a_z] × [b_x, b_y, b_z] = [a_yb_z-a_zb_x, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x]$
perché solo così è rispettata la definizione di prodotto vettoriale.

5 Verifica della proprietà distributiva rispetto alla somma
A questo punto, la verifica della proprietà distributiva rispetto alla somma è immediata:
(a × b) + (a × c) = $[a_yb_z-a_zb_x, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x] + [a_yc_z-a_zc_x, a_zc_x-a_xc_z, a_xc_y-a_yc_x]=$
$= [a_y(b_z + c_z) – a_z(b_x+c_x), a_z(b_x + c_x) – a_x(b_z+c_z), a_x(b_y+c_y)–a_y(b_x+c_x)]=$ a × (b + c) .
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 15/08/2018, 10:13

Tutto giusto, ma la tua risposta mi sembra un po' troppo calcolosa; inoltre concentra l'attenzione sui moduli, lasciando in secondo piano direzione e verso. Ad esempio, dopo una frettolosa lettura del tuo testo, mi chiedo se davvero col tuo metodo si può dimostrare che $veca xx vecb=-vecb xx veca$; penso proprio di sì ma non mi sembra immediato.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 16/08/2018, 04:30

giammaria ha scritto:Tutto giusto, ma la tua risposta mi sembra un po' troppo calcolosa; inoltre concentra l'attenzione sui moduli, lasciando in secondo piano direzione e verso.
Sì: è troppo calcolosa. Sostanzialmente, mentre Alex dice che quel determinante è per definizione il prodotto vettoriale, occorre invece provare che il vettore ottenuto con quel determinante è davvero il prodotto vettoriale (e quindi verificare che ha modulo, direzione e verso in accordo con la definizione geometrica).
[Se al posto di essere in una classe dove non sono ancora note le funzioni circolari fossimo in una classe dove è già nota la trigonometria tutto sarebbe più facile!].

Ma non mi pare che il mio troppo lungo discorso concentri l'attenzione solo sul modulo!
Vedi che è espressamente verificata l'ortogonalità con entrambi i fattori.

[E ... ricordiamoci della definizione di perpendicolarità di una retta ad un piano! « Una retta r incidente un piano in un suo punto P è perpendicolare a quel piano se è perpendicolare ad ogni retta del piano per il punto di incidenza P». Teoremino : basta che r sia perpendicolare a due [distinte] rette del piano per P perché sia perpendicolare a tutte (ossia perpendicolare al piano).
giammaria ha scritto:[...] dopo una frettolosa lettura del tuo testo, mi chiedo se davvero col tuo metodo si può dimostrare che $veca xx vecb=-vecb xx veca$; penso proprio di sì ma non mi sembra immediato.
Guarda l'ultima parte dove ho spiegato come decidere il verso del prodotto vettoriale.
Provo a ripetere questa parte.
Scelgo un riferimento cartesiano tale che PA (rappresentativo del primo fattore a) abbia P in [0, 0, 0] , A sul semiasse positivo delle x (cioè in [a, 0, 0], dove a è il modulo di a) e PB (rappresentativo di b) abbia B nel piano degli assi <x, y> (cioè quello con z=0), ossia in [$b_x$, $b_y$, 0].
Allora il prodotto vettoriale viene [0, 0, a·$b_y$]; quindi la direzione è quella derll'asse z ed il verso – secondo la regola del cavatappi – è quello positivo di z se è $b_y$ > 0 (e quello negativo di z se è $b_y$ < 0). Se inverti l'ordine dei fattori, vedi che cambiano di segno tutte le componenti (e se giri rigidamente il triangolo PAB attorno a P - che resta in [0, 0, 0] – in modo da portare B sul semiasse positivo delle x,  – per considere ora b come primo fattore – vedi che se era $b_y$ >0 dopo la rotazione ti viene $a_y$ < 0 (e viceversa).
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 16/08/2018, 08:22

Sì, d'accordo.
A proposito della regola del cavatappi: ricordo perfettamente che quando ero sui 14 anni dovevo osservarne attentamente il filetto per sapere da che parte girare, quindi quella regola non mi serviva a niente. Ancora oggi, quando devo usare un cavatappi, mi capita spesso di ragionare "La regola della mano destra dice che devo girare in quel verso". So che per molti la cosa viene spontanea, ma non succede a tutti: alla regola del cavatappi affiancherei sempre quella della mano destra.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda axpgn » 16/08/2018, 19:02

Erasmus_First ha scritto:Sostanzialmente, mentre Alex dice che quel determinante è per definizione il prodotto vettoriale, ...

No, un attimo: quella non è la "mia" definizione ma quella che ho letto in varie parti.
Perciò, ora, sarebbe utile che vi metteste d'accordo: o quella non è la definizione di prodotto vettoriale e allora ok, andate avanti (ma dovreste spiegarmi perché un sacco di fonti sostiene il contrario) oppure lo è e allora la mia soluzione è accettabile ed è la più breve di tutte (ed è anche alla portata dei 14enni). :wink:

Cordialmente, Alex
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda Erasmus_First » 17/08/2018, 08:58

giammaria ha scritto:[...] alla regola del cavatappi affiancherei sempre quella della mano destra.
La "regola del cavatappi" (cioè: delle viti abituali, perché quelle che girano avanzando nel verso contrario sono una assoluta minoranza!) l'ha inventata Maxwell. Chi è che ha introdotto per primo la "regola della mano destra"?
--------
Si vede che tu, da giovane, hai avvitato e svitato poche viti, e magari mai nessuna di quelle "rovescie"!
Oh perbacco! Quando infili il cavatappi nel tappo – una volta di sugaro ora di plastica elasstica) in una bottiglia lo affondi nel tappo girandolo in senso orario; e quando avviti una vite in una parete verticale [davanti al tuo petto] la giri in senso orario (e viceversa in senso antiorario quando la sviti).
Comunque, ecco qua il disegnino preso dalle mie [già menzionate] dispense
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Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Io, da giovane (da 13 anni in su), giravo dappertutto sempre in bici, provvedendo io stesso alla sua manutenzione e alle eventuali riparazioni. Ricordo ancora che le viti "rovescie" della bici erano 3 (o meglio: di tre tipi, ma 4 in tutto);
a) La vite che teneva la valvola solidale alla camera d'aria (rendendola a tenuta stagna);
b) Il perno del pedale destro (che è avvitato alla pedivella destra in modo che, se non è scorrevole la rotazione del pedale sul suo perno, il perno non tende a svitarsi dalla pedivella pedalando, ma al contrario tende a serrarsi ancor di più).
[Naturalmente la stessa precauzione c'era anche nel pedale sinistro, nel quale (essendo simmetrico del destro) il perno aveva dunque il filetto normale];
c) Il "tappo" (fatto a corona circolare col filetto periferico) che tiene in sede le sfere (e lo speciale meccanismo a "nottolino") del pignone "ruota-libera" (quello che riceve dalla catena la "trasmissione" del modo rotatorio (dai pedali alla ruota posteriore, ma permette anche alla ruota di girare in avanti senza pedalare o pedalando all'indietro). Per venire avvitato o svitato questo "tappo" aveva due "tacche" simmetriche rispetto al centro del buco (due fori circolari profondi un paio di mm). I meccanici usavano una chiave speciale [modernamente detta "estrattore"] con due prominenze cilindriche che combaciavano con le due tacche (infilandosi in esse). Quella chiave io non l'ho mai avuta! E non avevo nemmeno quella "morsa" che hanno i meccanici per tener ferma la ruota mentre si lavora sul pignone. Ma avevo imparato a smontare e riparare il pignone (che si fosse rotto in un viaggio lontano da casa) anche seduto per terra al bordo della strada! [La ruota la tenevo ferma con le gambe,; e svitavo quel tappo dal pignone usando un robusto chiodo ed un piccolo martello (del peso di qualche hg soltanto). Il chiodo con la punta in una delle due "tacche", inclinato opportunamente e "picchiettato" poi con martellate non troppo energiche ma a frequenza più alta di un colpo al secondo.
[Ho appena letto – in un sito specializzato sulla meccanica delle bici – – che l'operazione di smontare il meccanismo (a "nottolino") della "ruota-libera" – cioè di svitare quel "tappo" è di "media difficoltà" e può durare da 10 minuti ad un'ora a seconda dello stato di sporcizia/ossidazione del filetto (che potrebbe tendere "grippare").
Credo di essere stato tra i rarissimi ciclisti in grado di riparare il pignone quando, consuumandosi [per sfregamento] l'estremo del filo di acciao che aziona il "nottolino", la pedalata in avanti è percepita "in folle" e qualla all'indiedro non funziona più).

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
@Alex
Facciamo un paragone.
Dire che il triangolo isoscele è quello con due angoli uguali è giusto! Ma non è la definizione! La definizione è "quello con due lati uguali. Ma si dimostra subito che un triangolo con due angoli uguali ha anche due lati uguali.
Allora: prendo quel vettore ottenuto con quel determinante e provo che è il prodotto vettoriale (cioè che ha tutte le proprietà dichiarate nella definizione).
Ovviamente sono d'accordo con te che è su quel vettore che è facile provare la proprietà distributiva rispetto alla somma.
Ho però già detto che ai miei ragazzini di 14 anni dicevo che "si dimostra che il prodotto vettoriale è distributivo rispetto alla somma", (ma la dimostrazione esula dal livello della 1ª classe delle superiori).
E a quel vettore (dato che ancora non conoscevano il determinante) ci arrivavamo proprio scrivendo bvettori [a, b, c] nella forma ai+bj+ck (dove i, j e k sono rispettivamente i versori
[1, 0, 0], [0, 1, 0] e [0, 0. 1]
degli assi cartesiani del riferimento) e sfruttando proprio la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma.
Ciao ciao.
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Re: Provare che il prodotto vettoriale di vettori è distributivo rispetto alla somma

Messaggioda giammaria » 17/08/2018, 10:51

@ Erasmus_First
Non so chi ha inventato la regola della mano destra ma, dato che è molto usata nell'elettromagnetismo, penso che sia qualcuno più o meno contemporaneo a Maxwell. Dalla tua risposta deduco che la regola del cavatappi (o della vite, è lo stesso) non ti dava problemi; ed infatti non ho detto di abolirla ma solo di affiancarla all'altra, dato che non serviva a tutti (almeno io facevo eccezione).

@ axpgn
Come giustamente dici, tutto dipende dalla definizione che si è data. Conosco molti testi delle superiori, e nessuno di questi fa uso delle componenti di un vettore; credo che dipenda dal fatto che per farlo occorre almeno il concetto di tre assi cartesiani, mentre nelle superiori solitamente non si introduce l'analitica tridimensionale. Anche nella mia università il discorso non si basava sulle componenti di un vettore, ma lì penso che lì fosse una scelta del professore, dato che entrambe le impostazioni hanno vantaggi e svantaggi.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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