Rappresentazione Parametrica varieta' soluzioni

Messaggioda Oibaf96 » 08/08/2018, 12:49

Dato il sistema lineare $ AX=B $ con $A=( ( 3 , -4 , -1 , -2 ),( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 1 , -2 , -1 , 0 ) ) $ e $B= ( ( 4 ),( 1 ),( 2 ) ) $
determinare una rappresentazione parametrica della varieta' delle soluzioni.

Il sistema e' non omogeneo e A risulta quadrata in quanto A3=A2+A1.
Ho provato a calcolare le coordinate della soluzione con Cramer ed a scala ed ottengo il medesimo risultato (corretto)
$ X= -3/2 ; Y=-1/4; Z=0; T=3/4 $
Il problema sta nel fatto che nella soluzione oltre alle coordinate leggo:
$ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =( ( 3/2 ),( -1/4 ),( 0 ),( 3/4 ) ) +s( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $

Come ricavo i valori del parametro s?

Vi ringrazio in anticipo, saluti.
Ultima modifica di Oibaf96 il 08/08/2018, 20:19, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda j18eos » 08/08/2018, 16:21

Oibaf96 ha scritto:[...] A risulta quadrata in quanto A3=A2+A1 [...]
Questa non l'ho capìta; di sicuro la matrice \(\displaystyle A\) è rettangolare di rango \(\displaystyle 2\).

Quant'è la dimensione (dello spazio vettoriale direttore) della varietà affine delle soluzioni di tale sistema non omogeneo?
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Re: Rappresentazione Parametrica varieta' soluzioni

Messaggioda Oibaf96 » 08/08/2018, 20:22

Penso sia 2
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Messaggioda j18eos » 08/08/2018, 23:56

Ho fatto i conti: quella matrice ha rango \(\displaystyle3\) e non \(\displaystyle2\): riesci a dimostrare questo?

Di conseguenza la varietà (affine) delle soluzioni è una retta (affine) in \(\displaystyle\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}\).
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Re: Rappresentazione Parametrica varieta' soluzioni

Messaggioda Oibaf96 » 10/08/2018, 12:06

Si ho rifatto i conti ed il determinante della matrice (3x3)risulta diverso da 0, il rango quindi della matrice risulta = 3 cioe' il minimo valore tra righe e colonne.
Il mio errore e' stato nel non considerare il vettore dipendente escludendolo dal calcolo, ho sviluppato riducendo tramite Gauss con i seguenti passaggi:
1.Riga2=Riga2-Riga3
2.Riga1=Riga1-3Riga3
3.Riga2=Riga2-2Riga1
4.Riorganizzando le righe per creare la matrice a scala.
Con questo procedimento ottengo la matrice a scala:
$ A=( ( 1 , -2 , -1 , 0 ),( 0 , 2 , 2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 4 ) ) B=( ( 2 ),( -2 ),( 3 ) ) $

Ed ottengo il risultato atteso.
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Messaggioda j18eos » 10/08/2018, 13:41

Bene la soluzione particolare \(\displaystyle(x_0,y_0,z_0,t_0)=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4},0,\frac{3}{4}\right)\) è corretta; ora devi risolvere il sistema omogeno associato: sai come fare?, e soprattutto perché?
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