Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 10/08/2018, 17:32

Salve a tutti!
Mi rivolgo a voi per un problemino con le applicazioni lineari fra spazi di polinomi. L'esercizio riguarda un'applicazione lineare
$ F:V->mathbb(K) ^4 $ con $ V=mathbb([K]) <=3 $ definita come $ F(p(X))=(p(0),p(1),P(2),p(3)) $ rispetto alla base $ B={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $ . Devo scrivere la matrice associata a F.
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base. Ho scritto $ p(X)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 $ e valutando in 0,1,2,3. Mi viene fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1, 1 , 1 ),( 1 , 2 , 4 , 8 ),( 1 , 3 , 9 ,27 ) ) $ e poi ne calcolo l'inversa. Sto procedendo bene?
Vi ringrazio in anticipo
Ultima modifica di Milenix il 10/08/2018, 18:09, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda j18eos » 10/08/2018, 17:43

Non capìto un piccolo ma grosso particolare: \(\displaystyle\mathbb{V}\) è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti nel campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) di grado \(\displaystyle d\leq 3\)?
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 10/08/2018, 17:47

Si, scusami, me lo sono mangiato!
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Magma » 10/08/2018, 18:01

Milenix ha scritto: Sto procedendo bene?

Dipende... :roll: cosa devi trovare/dimostrare? :smt017 :-D
Ultima modifica di Magma il 10/08/2018, 18:01, modificato 1 volta in totale.
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda anto_zoolander » 10/08/2018, 18:01

@Milenix formule.

@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa :-k
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 10/08/2018, 18:02

Magma ha scritto:
Milenix ha scritto: Sto procedendo bene?

Dipende... :roll: cosa devi trovare/dimostrare? :smt017 :-D

devo scrivere la matrice associata rispetto a quella base.
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 11/08/2018, 12:09

Milenix ha scritto:Salve a tutti!
Mi rivolgo a voi per un problemino con le applicazioni lineari fra spazi di polinomi. L'esercizio riguarda un'applicazione lineare
$ F:V->mathbb(K) ^4 $ con $ V=mathbb([K]) <=3 $ definita come $ F(p(X))=(p(0),p(1),P(2),p(3)) $ rispetto alla base $ B={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $ . Devo scrivere la matrice associata a F.
Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base. Ho scritto $ p(X)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 $ e valutando in 0,1,2,3. Mi viene fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1, 1 , 1 ),( 1 , 2 , 4 , 8 ),( 1 , 3 , 9 ,27 ) ) $ e poi ne calcolo l'inversa. Sto procedendo bene?
Vi ringrazio in anticipo

In pratica ho scritto la matrice costituita dagli elementi della base $ mathbb(B) $ che mi viene $ mathbb(( ( 1, 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , -3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) ) $ la cui inversa è $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ . Poi faccio il prodotto fra l'inversa, A e la matricecostituita dagli elementi della base $ mathbb(B) $ e viene $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 3 , 6 , 8 , 6 ),( 4 , 11 , 20 , 18 ),( 1 , 3 , 6 , 6 ) ) $ . E' corretto?
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Prima Parte

Messaggioda j18eos » 13/08/2018, 10:30

In genere si scrive \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}=\mathbb{V}\), altrimenti uno potrebbe capire che tu consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\displaystyle3\) e non di grado al più \(\displaystyle3\).

Fine prima parte.
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Magma » 13/08/2018, 15:29

Milenix ha scritto:[…] [Si consideri la seguente] applicazione lineare
$ F: qquad RR[x]_(<=3)->mathbb(K)^4 $

definita come
$ F(p(X))=((p(0)),(p(1)),(p(2)),(p(3))) $


rispetto alla base $mathcalB:={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $. Devo scrivere la matrice associata a $F$.


Milenix ha scritto:Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base.

Cos'è una matrice associata per te? Io considererei la matrice $M_(mathcal(EB))(F)$ (1) dove $mathcalB$ è la base data e $mathcalE$ è la base canonica di $mathbbK^4$.


Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
anto_zoolander ha scritto:@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa :-k

Ti piace vincere facile :roll:

Note

  1. Le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto la base $mathcalE$: i.e. $[F(b_i)]_mathcalE$
Ultima modifica di Magma il 13/08/2018, 19:28, modificato 2 volte in totale.
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Seconda parte

Messaggioda j18eos » 13/08/2018, 18:50

...m'ha preceduto Magma. :lol:
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