riflessione su un semplicissimo sistema lineare di due equazioni

Messaggioda qwertyce » 11/08/2018, 12:16

dato un sistema di tal tipo:

${(a_1= \ k_1 \ b_1+k_2 \ b_2),(a_2=-k_2 \ b_1 + k_1 \ b_2):}$

$a_1,a_2,b_1,b_2 \in CC \ ; \ k_1,k_2 \in RR$

avendo necessità di risolvere il sistema rispetto a $b_1$ e $b_2$ (passaggio dalla base ${b_1,b_2}$ alla base ${a_1,a_2}$ in uno spazio di Hilbert), dopo aver fatto banali noiosi calcoletti per esplicitare $b_1$ e $b_2$, ho ottenuto:

${(b_1= \ k_1 \ a_1+k_2 \ a_2),(b_2=-k_2 \ a_1 + k_1 \ a_2):}$


guardando il risultato noto che, molto banalmente, la soluzione rispetto a $b_1$ e $b_2$ sarebbe stata immediata facendo le trasformazioni $b_1 \ rarr a_1$ e $b_2 \ rarr a_2$

penso mi stia sfuggendo qualcosa di molto banale, cioè che avrei dovuto dovuto trovare immediato fare quelle trasformazioni per risolvere il sistema rispetto a $b_1$ e $b_2$, così da non fare alcun calcolo.

PS come sopra scritto sto considerando il caso coi coefficienti $k_1$,$k_2$ reali, immagino non cambi nulla considerandoli complessi
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Re: riflessione su un semplicissimo sistema lineare di due equazioni

Messaggioda dissonance » 12/08/2018, 18:46

Non mi ritrovo con i tuoi conti: io trovo che
\[
\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\ -k_2 & k_1\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{k_1^2+k_2^2} \begin{bmatrix} k_1 & -k_2 \\ k_2 & k_1\end{bmatrix}.\]
Questo si può vedere rapidamente ragionando sulle matrici di rotazione
\[
R_\theta=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix},\]
perché \(R_\theta^{-1}=R_{-\theta}\).
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Re: riflessione su un semplicissimo sistema lineare di due equazioni

Messaggioda qwertyce » 14/08/2018, 18:45

dissonance ha scritto:Non mi ritrovo con i tuoi conti: io trovo che
\[
\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\ -k_2 & k_1\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{k_1^2+k_2^2} \begin{bmatrix} k_1 & -k_2 \\ k_2 & k_1\end{bmatrix}.\]
Questo si può vedere rapidamente ragionando sulle matrici di rotazione
\[
R_\theta=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix},\]
perché \(R_\theta^{-1}=R_{-\theta}\).



ok, non vale se $k_1,k_2 \in RR$

ma vale se $k_1,k_2 \in CC$ t.c. $|k_1|^2+|k_2|^2=1$ (???)


ho le idee confuse, forse è meglio che mi prenda un po' di tempo prima di sparare altre caxxate :D
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Re: riflessione su un semplicissimo sistema lineare di due equazioni

Messaggioda dissonance » 14/08/2018, 19:29

Si, secondo me ci vuole \(|k_1|^2+|k_2|^2=1\), ma pure io non sono concentrato al massimo :-)
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