Punti di equilibrio sistemi autonomi

Messaggioda Silence » 12/08/2018, 01:21

Buonasera, sto studiando i sistemi autonomi bidimensionali e non riesco bene a districarmi, avrei bisogno di qualche chiarimento riguardo lo studio della natura dei punti di equilibrio.

So che le considerazioni riguardo la stabilità partono dagli autovalori della Jacobiana nell'intorno degli estremi, ma non so come leggerli. Avrei bisogno di "vedere" chiaramente i criteri di classificazione dei punti di equilibrio. Cosa li rende fuochi, selle, centri o nodi a tangenti verticali/orizzontali? Come ne dimostro la (non) stabilità, in relazioni agli autovalori che trovo?

Grazie a chiunque abbia la pazienza di aiutare.
Silence
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Re: Punti di equilibrio sistemi autonomi

Messaggioda arnett » 12/08/2018, 11:18

Ciao, beh l'argomento è piuttosto delicato e vasto, forse è meglio che ti rivolgi a un libro di testo, tu cosa stai usando? Provo a darti giusto due indicazioni veloci:

Per la linearizzazione il punto è:
- se il punto di equilibrio è asintoticamente stabile per il sistema linearizzato (e ciò avviene se e solo se tutti gli autovalori del sistema linearizzato hanno parte reale strettamente negativa) allora è asintoticamente stabile anche per il sistema non lineare
- se il punto di equilibrio è instabile per il sistema linearizzato(e ciò avviene se e solo se esiste almeno un autovalore con parte reale positiva) allora è instabile anche per il sistema non lineare
In tutti gli altri casi non si può concludere in generale nulla (ossia: le conclusioni che riesci a trarre sul sistema linearizzato non si estendono a quello non lineare) e si deve procedere con altri metodi (Liapunov, per esempio).

Per la classificazione dei punti di equilibrio la cosa si fa più complessa: la classificazione è chiara per i sistemi lineari, il problema è passare al sistema non lineare. In alcuni casi (fuoco, colle, nodo a una o due tangenti) il ritratto di fase del sistema linearizzato è localmente equivalente a quello del sistema non lineare (ossia: se trovi che per il sistema linearizzato il punto di equilibrio che stai esaminando è un nodo a due tangenti, anche il punto di equilibrio del sistema non lineare, almeno in un intorno del punto, assomiglierà a un nodo a due tangenti), in altri casi non è possibile estendere i risultati al sistema lineare (o si possono estendere sotto ipotesi aggiuntive). Esistono anche, per i sistemi non lineari, configurazioni delle traiettorie che non hanno equivalente nei sistemi lineari (i cicli limite, per esempio).
arnett
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Re: Punti di equilibrio sistemi autonomi

Messaggioda Silence » 12/08/2018, 12:34

Innanzitutto grazie per la risposta. Uso il Bramanti Pagani Salsa, fino a ora mi sono sempre trovato bene ma trovo che in particolare su questo argomento le spiegazioni siano un po' superficiali.

Ad esempio parlando degli autovalori, dice che se essi sono tutti negativi allora si ha un nodo stabile, però non specifica autovalori di cosa. Della matrice associata al sistema? Della Jacobiana nell'intorno del punto considerato? Perchè guardando gli esercizi ho visto fare entrambe le cose, e in alcuni casi addirittura trarre conclusioni diverse dalle stesse premesse. Ad esempio in un caso si usava la traccia della Jacobiana in un punto per determinarne la natura, e in un altro punto la traccia era la stessa ma non veniva nemmeno considerata, e la natura del punto era un'altra. Sono abbastanza perplesso sul metodo da applicare, sui "passi" da seguire per risolvere i sistemi.
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Re: Punti di equilibrio sistemi autonomi

Messaggioda arnett » 12/08/2018, 14:04

Potresti provare con il Pagani-Salsa (di cui il Bramanti-Pagani-Salsa è una versione ridotta) che tratta gli stessi argomenti un po' meglio.
Ad ogni modo se consideri un sistema lineare a coefficienti costanti $a_{ij}$ della forma $\mathbf{y'}=\mathbf{Ay}$, che nel caso bidimensionale si scrive esplicitamente come \[\begin{bmatrix}
y_1'(t)\\
y_2'(t)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
y_1(t)\\
y_2(t)
\end{bmatrix}\] si tratta di calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice $\mathbf{A}$. Per un sistema non lineare della forma $\mathbf{y'}=\mathbf{f(y)}$ si considera la matrice jacobiana di $\mathbf{f}$ valutata nel punto di equilibrio $\mathbf{x_0}$, il che equivale a studiare il sistema linearizzato $\mathbf{y'}=\mathbf{Jf(x_0)y}$. Osserva che nel caso del sistema lineare a coefficienti costanti la matrice jacobiana sarebbe proprio $\mathbf{A}$.

Quanto alla traccia e determinante: se siamo nel caso bidimensionale (e solo in questo caso) per discutere la stabilità di un punto di equilibrio ci si può limitare a valutare traccia e determinante di $\mathbf{A}$ o $\mathbf{Jf(x_0)}$: infatti ciò che davvero ci interessa è il segno degli autovalori e ricordando che se $\mathbf{A}$ ha autovalori $\lambda_1, \lambda_2$ (eventualmente coincidenti) si ha $det(\mathbf{A})=\lambda_1\lambda_2$ e $tr(\mathbf{A})=\lambda_1+\lambda_2$ puoi farti facilmente un'idea del segno di $\lambda_1, \lambda_2$ a partire dal segno di traccia e determinante di $\mathbf{A}$. (Quindi: può darsi che sistemi con la stessa traccia diano luogo a punti di equilibrio di diverso tipo se hanno diverso determinante)
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Re: Punti di equilibrio sistemi autonomi

Messaggioda Silence » 12/08/2018, 15:27

Ti ringrazio infinitamente. In poche righe mi hai chiarito più dubbi e confermato più supposizioni di quante pensavo di avere. Ora sì che le cose cominciano a tornare.
Silence
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