Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda robbis » 12/08/2018, 16:11

Ciao a tutti, sto studiando il teorema di Morita sull'equivalenza di categorie di moduli. Devo dimostrare il seguente fatto, ma ho trovato delle difficoltà.

Siano $R$ and $S$ anelli equivalenti con equivalenze inverse $F: _{R}M \to _{S}M$ e $G: _{S}M \to _{R}M$. Siano $P=F(R)$, $Q=G(S)$.
Allora $P$ è (S,R) bimodulo e $Q$ è (R,S) bimodulo.

Nella dimostrazione l'autore richiama questi 2 isomorfismi di anelli:
$R \cong End(R)$ tramite moltiplicazione a destra $\lambda$ per uno scalare in $R$ e $End(R) \cong End_S(P)$ tramite $F$.
Dunque c'è un isomorfismo di anelli $r \mapsto F(\lambda(r))$ che devo usare per definire la motliplicazione destra di un elemento di $P$ per uno scalare di $R$ per dimostrare che $P$ è un $R$-modulo destro. La dimostrazione cita inoltre il fatto che $R$ è $(R,R)$ bimodulo e che $F$ è un funtore additivo.

Se qualcuno ha dei suggerimenti ne sarei grata! Grazie!
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda killing_buddha » 12/08/2018, 16:36

Cosa non capisci di questa dimostrazione? Non riesci a riempire da sola i pezzi mancanti? In effetti non si tratta nemmeno di riempire dei buchi la dimostrazione è proprio quella. Cosa non va?
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda robbis » 12/08/2018, 16:47

Se non ho capito male devo definire una moltiplicazione $p \cdot r$ tale che il risultato sia in $P$.
Potrebbe essere $(p,r) \mapsto p \cdot r = F(\lambda(r))(p)$?
In questo modo $F(\lambda(r)) \in End_S(P)$ dunque $p\cdot r \in P$.
A questo punto dovrei ancora dimostrare che sono verificate le condizioni affinchè $P$ sia $R-$modulo destro?
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda killing_buddha » 12/08/2018, 17:12

$P$ è un $R$-modulo destro se esiste un'azione destra di $R$ su $P$, ovvero un omomorfismo di anelli \(R^\text{op}\to \text{End}_S(P)\); quando hai trovato questo, hai finito. Idem per $Q$.
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda robbis » 12/08/2018, 18:16

Grazie per il suggerimento.
Immagino che si tratti semplicemente di una riformulazione della richiesta di avere un prodotto scalare con determinate caratteristiche, che si traduce nell'avere un endomorfismo di $P$ per ogni elemento di $R$. Non mi è chiaro però perchè consideriamo $End_S(P)$ (nella notazione dell'autore, la $S$ è a pedice sinistro di $P$ e si intendono gli endomorfismi di $P$ visto come $S$ modulo sinistro che operano a destra. Inoltre non capisco come mai sia necessario considerare $R^{op}$ anzichè $R$. Se potessi chiarirmi questi dubbi, dovrei poi avere tutto chiaro, intanto grazie mille per la disponibilità!
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda killing_buddha » 12/08/2018, 18:23

Non è un suggerimento, ti ho risposto :-)

No, quando scrivi \(\text{End}_S(P)\) non stai necessariamente intendendo \(\text{End}({}_SP)\).

E' necessario considerare \(R^\text{op}\) perché l'azione destra è controvariante.
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda robbis » 13/08/2018, 09:46

Si scusami, sono io che ho sbagliato a scrivere. L'autore usa la notazione con $S$ a pedice dentro la parentesi (chiedo scusa ma non riesco a riprodurla in LaTex)
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda robbis » 13/08/2018, 10:03

Un $R$-modulo destro è semplicemente un $R^{op}$-modulo sinistro giusto? Scusami ma come avrai nottao sono parecchio arrugginita e arrivo a scoppio ritardato :roll:
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Re: Anelli equivalenti e bimoduli

Messaggioda killing_buddha » 13/08/2018, 16:59

Ho visto che hai postato su MSE questa domanda, hai risolto ora?
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