Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 16:43

Ciao, come vanno i seguenti esercizi secondo voi?

i) Mostrare che \(\displaystyle A\subset B \) implica \(\displaystyle \text{diam}A\le\text{diam}B \).

Per assurdo, sia \(\displaystyle \text{diam}A>\text{diam}B \). Dalla definizione di diametro, ciò significa che posso trovare una coppia \(\displaystyle (x,y)\in A \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)>\mathrm{d}(x',y') \) per ogni scelta di coppie \(\displaystyle (x',y')\in B \), contraddicendo l'ipotesi \(\displaystyle A\subset B \) poiché allora \(\displaystyle (x,y)\notin B \).

ii) Mostrare che \(\displaystyle \text{diam}A=0 \) se e solo se $A$ consiste di un solo punto $x$.

Chiaramente, se $A$ ha più di un punto, si può sempre trovare un $y$ tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)>0 \) per gli assiomi sulla distanza; viceversa, se \(\displaystyle \text{diam}A=0 \), allora \(\displaystyle \sup \mathrm{d}(x,y)=0 \) per ogni scelta della coppia \(\displaystyle (x,y) \); siccome per gli assiomi sulla distanza \(\displaystyle \mathrm(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \), l'insieme consiste di un punto singolo.

iii) La distanza tra due insiemi \(\displaystyle D(A,B)=\inf_{a,b} \mathrm{d}(a,b) \) non definisce una metrica sull'insieme delle parti di \(\displaystyle X\supset A,B \).

La prima giustificazione che mi viene in mente è che l'insieme \(\displaystyle \mathcal{P}(X) \) contiene anche l'insieme vuoto, che mi crea dei problemi: non ha molto senso usare questa definizione di distanza per parlare di distanza dall'insieme vuoto. Ci sono altre complicazioni, o è questo l'unico motivo? Basterebbe rimuovere l'insieme vuoto dalla lista per poter parlare di spazio metrico? Edit: mi sono accorto che in effetti basterebbe avere \(\displaystyle A\cup B=\varnothing\) affinché \(\displaystyle D(A,B)=0 \) e questo violerebbe l'assioma per cui \(\displaystyle D(A,B)=0 \Leftrightarrow \) $A=B$.
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 17:12

Ciao, i punti (i) e (ii) mi sembrano corretti. Solo si usa scrivere o \( x,y \in B \) o \( \{x,y\} \subset B \) o \( (x,y) \in B^2\) e non \( (x,y) \in B \), ma è solo un'imprecisione.

Per la questione dell'insieme vuoto, direi proprio di escluderlo, fare \( \inf \) o \( \sup \) su di esso genera problemi solitamente.
Supponiamo di averlo levato, quella non è ancora una metrica su \( \mathcal{P}(X)-\{ \emptyset\} \) infatti, per esempio sia \( X= \mathbb{R} \) e siano \( A= (0,1) \) e \( B = (1,2) \) quale è la loro distanza? Perché?

Lèo ha scritto: mi sono accorto che in effetti basterebbe avere \( \displaystyle A\cup B=\varnothing \) affinché \( \displaystyle D(A,B)=0 \) e questo violerebbe l'assioma per cui \( \displaystyle D(A,B)=0 \Leftrightarrow \) $ A=B $.


Ma se \( A \cup B = \emptyset \) allora \( A= B= \emptyset \).
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 17:24

Scusami, intendevo \(\displaystyle A\cap B=\varnothing \). Anche nel tuo esempio la distanza dovrebbe essere ancora nulla...
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 17:29

Non è vero che se \( A \cap B = \emptyset \) allora \( D(A,B)=0\), prendi per esempio \(X= \mathbb{R} \), \( A= (0,1) \) e \( B=(5,6)\).

Sì, nel mio esempio la distanza è zero, se riesci a giustificare questa affermazione allora hai risolto il punto (iii).
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 19:16

Uff, mi sento un idiota. Quello che cerco di scrivere da due post è che se \(\displaystyle A\cap B\ne \varnothing \), allora \(\displaystyle D(A,B)=0 \) perché ovviamente nella distanza posso prendere \(\displaystyle a=b\ni A\cap B \).
Questo è vero anche se i due insiemi hanno anche solo un punto di accumulazione $x$ in comune (come nel tuo esempio), perché se \(\displaystyle \mathrm{d}(a,x)<\epsilon, \mathrm{d}(b,x)<\epsilon \) allora \(\displaystyle \mathrm{d}(a,b)\le \mathrm{d}(a,x)+\mathrm{d}(x,b)<2\epsilon\to 0 \) per la disuguaglianza triangolare.
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 20:53

Lèo ha scritto:Uff, mi sento un idiota. Quello che cerco di scrivere da due post è che se \(\displaystyle A\cap B\ne \varnothing \), allora \(\displaystyle D(A,B)=0 \) perché ovviamente nella distanza posso prendere \(\displaystyle a=b\ni A\cap B \). [...]

In tal caso mi trovi perfettamente d'accordo :smt023
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda otta96 » 12/08/2018, 22:51

Quindi se si considera l'insieme dei chiusi non vuoti si evitano cose di quel tipo, a quel punto è una distanza?
P.S. La dimostrazione di i) che hai dato non mi piace, il che prevalentemente è un problema mio ma visto che non mi faccio i cavoli miei :twisted: voglio comunque dire come avrei fatto io: dato che $A\subeB$ si ha ${d(x,y)|x,y\inA}\sube{d(x,y)|x,y\inB}$ quindi $\delta(a)=\text{sup}{d(x,y)|x,y\inA}<=\text{sup}{d(x,y)|x,y\inB}=\delta(B)$.
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 09:01

@otta, non so se la tua era una domanda per l'OP o in generale; in ogni caso, no non va bene nemmeno se prendi i chiusi non vuoti. Se i due insiemi hanno intersezione non vuota allora, come detto sopra, non funziona.
Una possibile definizione di distanza in questo contesto è quella di Hausdorff.
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda otta96 » 13/08/2018, 12:22

Era per l'OP ;)
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Re: Esercizi sulla distanza.

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 12:34

Lo sapevo :cry:
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