Metrica limitata.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 20:01

Se \(\displaystyle (X,\mathrm{d}) \) è uno spazio metrico, allora un'altra metrica è definita da \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)} \) e \(\displaystyle (X,\mathrm{d}') \) è limitato.

Allora, chiaramente le prime proprietà della metrica \(\displaystyle d' \) discendono immediatamente da quelle di $d$; \(\displaystyle d' \) è certamente non negativa, nulla solo se \(\displaystyle x=y \) e simmetrica. Resta quindi soltanto la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)}\underbrace{\le}_{*}\frac{\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}= \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}\le \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(z,y)}=\mathrm{d}'(x,z)+\mathrm{d}'(z,y). \] \(\displaystyle * \): non sono molto sicuro di questa disuguaglianza, è corretta? Purtroppo è quella su cui si basa tutta la catena!

Comunque, per la seconda parte: suppongo che $X$ sia limitato rispetto alla metrica $d$. $X$ è limitato conseguentemente anche secondo la metrica \(\displaystyle d' \) poiché se \(\displaystyle \forall x,y\in X \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)<\infty \) allora sicuramente \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)<\infty \). Supponendo invece che $X$ sia illimitato, allora esiste almeno una coppia \(\displaystyle x,y \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\to\infty \), ottenendo per \(\displaystyle \mathrm{d}' \) una forma di indeterminazione \(\displaystyle \infty/\infty \). Siccome tuttavia \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\sim1+\mathrm{d}(x,y) \), si ha ancora \(\displaystyle \mathrm{d}'<\infty. \)

Che dite, va bene?
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda anto_zoolander » 12/08/2018, 20:15

Per la seconda basta notare che $d(x,y)<d(x,y)+1=> (d(x,y))/(d(x,y)+1)<1$
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 20:37

Effettivamente così è molto più semplice... ma il discorso con le stime asintotico è corretto in questo contesto?
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 21:01

Sia
\[ f \colon [0, +\infty) \to [0, +\infty) \\ \quad \, \, x \mapsto \frac{x}{1+x} \]

allora per la parte asteriscata ti è sufficiente osservare che \( f \) è crescente e per la seconda parte che è limitata.

Da qui puoi vedere che il discorso si può facilmente generalizzare a una funzione da \( [0, \infty) \) a valori non negativi, crescente, sublineare, limitata e che vale \(0 \) solo ed esclusivamente in \(0\). Per esempio \( f(x)= \arctan(x) \) è una possibile scelta.
Ultima modifica di Bremen000 il 12/08/2018, 21:40, modificato 2 volte in totale.
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 21:10

Ciao, non capisco come mai per la prima parte sia sufficiente dimostrare che questa funzione sia crescente!
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 21:29

\[ d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) \Rightarrow f(d(x,y)) =\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \frac{d(x,z) + d(z,y)}{1+d(x,z) + d(z,y)} = f(d(x,z) + d(z,y))\]

Da cui ricavi il tuo punto asteriscato. Ho modificato il mio post precedente perché mancava un pezzo.
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 22:35

Ah, adesso è chiaro :smt023
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Re: Metrica limitata.

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 09:02

Bene! :D
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