Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bossmer » 12/08/2018, 20:51

Buongiorno,
studiando il libro di analisi 2 Fusco, Marcellini, Sbordone, sono incappato in un piccolo teorema che mi ha messo un po' in crisi, non perché penso sia falso, ma perché mi sembra inutilmente debole, sto parlando della superadditività della misura dei compatti secondo Lebesgue.
In pratica, per costruire la misura di Lebesgue in $R^n$ il libro prima definisce la misura degli intervalli poi quella dei Plurintervalli, e poi definisce la misura degli aperti e dei compatti, successivamente definirà la misura interna ed esterna.
In particolare la misura dei compatti la definisce come $$m(K)=\inf \{ m(P) : \mathop P\limits^ \circ \supset K\}$$ e fin qui tutto bene, poi dice:

Siano $F$ e $K$ due compatti tali per cui $K\cap F=\emptyset$, allora $m(F\cup K)\ge m(F)+m(K)$

Ora io non dico che questo sia falso, anzi! ma non capisco perché accontentarsi della disuguaglianza, per me dovrebbe valere l'uguaglianza, qualcuno sa far luce sulla faccenda?

Successivamente, anche la misura interna si porterà dietro questo fardello con un teorema del tutto identico a quello appena scritto(basta scrivere $m_i$ al posto di $m$ e trattare $F$ e $K$ come insiemi generici limitati), e anche in quel caso non capisco perché accontentarsi della superadditività quando secondo me è evidente che debba valere l'additività, se così non fosse mi farebbe comodo vedere dei controesempi... Ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di far luce sulla faccenda perché non la so sbrogliare...
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 21:38

Vale l'additività. Non ho studiato teoria della misura su quel libro dunque non so dirti perché faccia così. Probabilmente mostrerà più avanti che vale l'additività finita e la sigma additività su un opportuno sottoinsieme di \( \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \).
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bossmer » 13/08/2018, 09:07

Infatti per i compatti io sono sicuro che vale l'additività, perché la misura introdotta coincide con la misura di lebesgue dei compatti che sono misurabili, e penso sia un modo per mettere in risalto poi la superadditività della misura interna... la domanda a questo punto è : vale l'additività anche per la misura interna? ovviamente vale se un insieme è misurabile, ma vale anche se non è misurabile?
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 13:12

Dunque, ciò di cui sono certo è che non vale in generale la finita addività per la misura esterna di Lebesgue. Per la misura interna ci devo pensare ma penso comunque di no.

Il tuo libro come definisce un insieme misurabile?
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 13:39

Ok, potrei avere una risposta.

Sia \( V \subset [0,1] \) l'insieme di Vitali. E' noto che

\[ m_*(V)=0 \quad \quad 0 < m^*(V) \le 1 \]

Sia \( \epsilon = m^*(V) \).

Poiché

\[ m([0,1]) = m_*([0,1] - V) + m^*(V) \]

si ha

\[ m_*([0,1] - V ) = 1-\epsilon \Rightarrow m_*(V \cup ([0,1] -V) ) = m_*([0,1]) > m_*(V)+ m_*([0,1]-V) = 0 + 1- \epsilon \]

Dunque ti è sufficiente prendere \( A= V \) e \( B = [0,1]-V \).
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda dissonance » 13/08/2018, 17:43

Bossmer ha scritto:Infatti per i compatti io sono sicuro che vale l'additività, perché la misura introdotta coincide con la misura di lebesgue dei compatti che sono misurabili, e penso sia un modo per mettere in risalto poi la superadditività della misura interna... la domanda a questo punto è : vale l'additività anche per la misura interna? ovviamente vale se un insieme è misurabile, ma vale anche se non è misurabile?

Per insiemi arbitrari ti devi accontentare di superadditività (subadditività per la misura esterna). Come mi pare mostri correttamente Bremen. Se poi gli insiemi sono misurabili allora hai una vera misura, che è numerabilmente additiva. Questa è la cosiddetta "costruzione di Caratheodory" mascherata.
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bossmer » 13/08/2018, 21:42

Grazie questo effettivamente potrebbe essere un contro esempio, ma non capisco da dove tiri fuori questa proprietà:
Bremen000 ha scritto:Poiché
\[ m([0,1]) = m_*([0,1] - V) + m^*(V) \]
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bossmer » 13/08/2018, 21:53

dissonance ha scritto: Questa è la cosiddetta "costruzione di Caratheodory" mascherata.

Ma la costruzione di Caratheodory non era quella che portava alla definizione di insieme misurabile introducendo solo la misura esterna e dicendo che un insieme $A$ è misurabile solo se $m(A)=m(A\cap E)+m(A\cap E^c)$ per ogni insieme $E\subseteq R^n$ dove $m$ è la misura esterna, definita in uno dei tanti modi, che per gli insiemi per cui vale la precedente uguaglianza corrisponde alla misura di lebesgue?

O intendi che è mascherata perché introdurre anche una misura interna e dire che un insieme è misurabile se misura interna ed esterna coincidono, è lo stesso che scrivere la precedente affermazione? Sicuramente portano allo stesso risultato, ma a me sembrano due costruzioni leggermente diverse o sbaglio?
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 22:00

Bossmer ha scritto:Grazie questo effettivamente potrebbe essere un contro esempio, ma non capisco da dove tiri fuori questa proprietà:[...]


Dovresti trovarne una dimostrazione sul tuo libro o in qualsiasi testo che costruisca la misura di Lebesgue in questa maniera. Uno sketch della dimostrazione puoi vederlo per esempio qui.
Ultima modifica di Bremen000 il 14/08/2018, 21:03, modificato 1 volta in totale.
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Re: Superadditività della misura dei compatti

Messaggioda dissonance » 14/08/2018, 17:02

Bossmer ha scritto:O intendi che è mascherata perché introdurre anche una misura interna e dire che un insieme è misurabile se misura interna ed esterna coincidono, è lo stesso che scrivere la precedente affermazione? Sicuramente portano allo stesso risultato, ma a me sembrano due costruzioni leggermente diverse o sbaglio?

Non sbagli. Quello che volevo dire è che, se ci mettiamo su un aperto limitato \(A\) di \(\mathbb R^n\), in modo tale che i compatti siano i complementari degli aperti, allora questa "misura interna" si può ottenere dalla misura esterna. Dovrebbe essere \(m_i(X)=m_e(A)-m_e(A\setminus X)\), o qualcosa del genere. Si potrebbe quindi fare a meno della misura interna seguendo Caratheodory.

In ogni caso, hai ragione a dire che sono costruzioni diverse con lo stesso risultato.
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