Moto circolare - derivazione e prodotto vettoriale

Messaggioda turtle87 » 12/08/2018, 22:11

In un generico moto circolare, per spostamenti infinitesimi, vale la seguente uguaglianza:

$ d\vec{r} = \vec{d\varphi} \wedge \vec{r}$, con $d\vec{r}$ che indica il vettore spostamento infinitesimo di un generico punto del sistema, $\vec{d\varphi}$ il vettore relativo alla rotazione infinitesima attorno ad un asse del sistema e $\vec{r}$ il vettore che congiunge la posizione del punto del sistema in movimento con un generico punto dell'asse di rotazione.

La mia domanda è: quali sono i passaggi tramite i quali, derivando i due membri della precedente equazione, si ottiene la seguente:

$ \vec{v} = \vec{\omega} \wedge \vec{r}$, dove $ \vec{v}$ indica il vettore velocità istantanea del punto, $\vec{\omega}$ la velocità angolare del sistema e $\vec{r}$ il vettore che congiunge la posizione del punto del sistema in movimento con un generico punto dell'asse di rotazione?

P.S. - C'è la possibilità concreta che abbia usato scorrettamente i simboli che ho indicato sopra, per mia ignoranza; nel caso, su vostra segnalazione, li correggerei subito.
turtle87
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Re: Moto circolare - derivazione e prodotto vettoriale

Messaggioda Vulplasir » 12/08/2018, 22:55

Innanzitutto non è la seconda che si ottiene dalla prima, ma la prima che si ottiene dalla seconda.

Infatti vale $v=omega xx r$
Moltiplicando ambo i membri per $dt$ si ottiene:

$vdt=omegadt xx r$

Posto $vdt=dr$ e $omegadt=d theta$ si ottiene quanto cercato.

Ovviamente per passare dalla prima alla seconda basta dividere per $dt$ ambo i membri, quindi $(dr)/(dt)=v$ e $(d theta)/(dt)=omega$.

Ho detto che si passa dalla seconda alla prima perché la prima è più generale, la seconda è solo una conseguenza. Infatti il concetto di velocità angolare è generico ed ha un preciso significato, quello di "variazione elementare di angolo $d theta$ invece non ha significato nel caso generico di moto rigido. Ossia NON puoi definire questo $d theta$ e poi dire che $omega=(d theta)/(dt)$, perché nel caso di moto generico rigido $d theta$ non ha nessun significato, la velocità angolare non è la derivata di nessun angolo.
Le poloidi sono interpretabili come traiettorie nello spazio delle fasi.
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