Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda marco2132k » 02/09/2018, 23:48

Salve! Sto cercando di provare che il gruppo simmetrico \(\mathfrak{S}(E)\) di un insieme qualsiasi \(E\) agisce transitivamente su \(E\) stesso, in modo semplice solo quando \(E\) ha al più due elementi distinti.

Tenendo presente che la rappresentazione con cui lavoriamo è semplicemente l'identità di \(\mathfrak{S}(E)\), visto come gruppo rispetto all'operazione di composizione di applicazioni, devo, di fatto, provare che per ogni coppia \((x,y)\) di \(E\times E\) esiste una bigezione (unica nel secondo caso) \(f\in\mathfrak{S}(E)\) tale che \(fx=y\). Ho paura che la validità del claim dipenda da qualche cosa in combinatoria (che ignoro, purtroppo), quindi vi chiedo qualche suggerimento, nonostante creda che la domanda sia piuttosto stupida :roll: .
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Re: Azione semplicamente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda killing_buddha » 03/09/2018, 11:24

Fissati due elementi $x,y\in I$ di un insieme finito $I=\{a_1,...,a_n\}$ ci sono ben $(n-1)!$ permutazioni che mandano $x$ in $y$. Scegline una!
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Re: Azione semplicamente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda marco2132k » 03/09/2018, 14:38

Grazie per la risposta! Sto cercando di provare (induttivamente) quanto dici, purtroppo però mi blocco, tornando al problema di partenza: perché un insieme di \(n\) elementi ammette \((n-1)!\) permutazioni che mappano \(x\) con \(y\), fissati?

Scusami se non mostro tentativi di risoluzione miei, ma in caso fosse \(\lvert I\rvert=\aleph_0\), o in generale un qualsiasi insieme infinito, l'esistenza di queste funzioni è comunque garantita?
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda marco2132k » 03/09/2018, 17:16

Già che ci sono, faccio un'altra domanda: quando si parla di azione di un gruppo qualsiasi in un qualsiasi insieme, senza menzionare la rappresentazione mediante la quale il gruppo agisce, si sottintende sempre che questa sia l'omomorfismo identico? Esempio: se consideriamo l'azione dell'insieme \(S\) di tutte le trasformazioni affini \(x\mapsto ax+b\), \(a\in\mathbb{R}\), \(b\in\mathbb{R}\) dei reali in sé, la consideriamo con la rappresentazione \(1_{\mathfrak{S}(R)}\in\operatorname{End}(\mathfrak{S}(\mathbb{R}))\) ristretta al suddetto insieme, convenzionalmente? Provare la semplice (doppia) transitività è banale in questo caso, ma se consideriamo una qualsiasi \(\rho\in\operatorname{Hom}(S,\mathfrak{S}(\mathbb{R}))\) quello che dobbiamo effettivamente mostrare è che per ogni coppia di elementi diversi di \(S\times S\), \((x_1,x_2)\) e \((y_1,y_2)\), esiste una! \(f\in S\) tale che \[\rho(f)x_i=y_i\quad i=1,2\]
ed è una cosa dal significato diverso (la seconda \(S\times\mathbb{R}\ni (f_{a,b},x)\mapsto\rho(f_{a,b})x\) manda un "punto" e una "retta" in un punto di un'altra retta), seppure più o meno uguale dal punto di vista dimostrativo (credo, adesso provo).
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Re: Azione semplicamente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda killing_buddha » 03/09/2018, 19:21

marco2132k ha scritto:Grazie per la risposta! Sto cercando di provare (induttivamente) quanto dici, purtroppo però mi blocco, tornando al problema di partenza: perché un insieme di \(n\) elementi ammette \((n-1)!\) permutazioni che mappano \(x\) con \(y\), fissati?

Scusami se non mostro tentativi di risoluzione miei, ma in caso fosse \(\lvert I\rvert=\aleph_0\), o in generale un qualsiasi insieme infinito, l'esistenza di queste funzioni è comunque garantita?

Semplicemente, fissato $x$ e la sua immagine $\sigma(x)$, $\sigma|_{I\setminus\{x\}}$ si identifica in modo ovvio a una permutazione di $n-1$ elementi (esattamente quelli di \(I\setminus\{x\}\)). Con un insieme infinito è più complicato, detta brevemente.
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda killing_buddha » 03/09/2018, 20:45

marco2132k ha scritto:Già che ci sono, faccio un'altra domanda:

Scritta così, la domanda non ha veramente senso; il gruppo delle trasformazioni affini di $RR$ agisce su $RR$ sostanzialmente perché è definito dall'essere un gruppo di trasformazioni; il teorema di Cayley ti dice che moralmente tutti i gruppi sono gruppi di trasformazioni mediante la loro azione tautologica di traslazione su sé stessi (sebbene sia un risultato di algebra 1, è un fatto molto più profondo di quel che sembra). Se rammenti cos'è un'azione di gruppo, poi, non ha senso chiedere se
quando si parla di azione di un gruppo qualsiasi in un qualsiasi insieme, senza menzionare la rappresentazione mediante la quale il gruppo agisce, si sottintende sempre che questa sia l'omomorfismo identico?

essenzialmente perché un'azione è un omomorfismo da $G$ verso $Aut(X)$, oppure una funzione $G \times X\to X$ tale che blah blah. Se $G$ si presenta naturalmente come un sottogruppo di $Aut(X)$ per qualche $X$, capisci bene che almeno la rappresentazione \(G \hookrightarrow Aut(X)\) che lo include nel suo sovrainsieme di appartenenza è ben posta.
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda marco2132k » 03/09/2018, 22:52

killing_buddha ha scritto:Semplicemente, fissato $ x $ e la sua immagine $ \sigma(x) $, $ \sigma|_{I\setminus\{x\}} $ si identifica in modo ovvio a una permutazione di $ n-1 $ elementi (esattamente quelli di \( I\setminus\{x\} \)). Con un insieme infinito è più complicato, detta brevemente.

Sì, mi ha senso :D .

Credo che il secondo problema spunti fuori dal fatto che non sto studiando i gruppi "ufficialmente", in maniera sistematica, ma mi baso su ciò che trovo in un testo di geometria: sono interessato principalmente a rivederla, mediante l'applicazione di cose di algebra questa volta.

Nella definizione che possiedo, un'azione di un gruppo \(G\) in un insieme \(E\) è un'applicazione \(G\times E\to E\) che mappa una coppia \((g,x)\) con l'immagine \(\rho(g)(x)\in E\) dove \(\rho\) è una rappresentazione \(\in\operatorname{Hom}(G,\mathfrak{S}(E))\).

Con questa def per le mani, mi sembra lecito chiedermi, nel caso in cui si parli di azione di un gruppo su qualcosa, quale sia la rappresentazione utilizzata: nell'esempio precedente, se dovessi descrivere l'azione del gruppo \(S\) delle trasformazioni affini \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) su \(\mathbb{R}\) stesso, essa sarebbe l'applicazione \(S\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) che mappa una coppia \(f_{a,b},x\) con l'immagine \(\rho(f_{a,b})(x)\) di una rappresentazione \(\rho\in\operatorname{Hom}(S,\mathfrak{S}(\mathbb{R}))\). Ciò che mi viene spontaneo pensare (ma forse non c'è nessun motivo per cui dovrei farlo) è che in questo caso \(\rho = 1_{\mathfrak{S}(\mathbb{R})}\), ristretta nel dominio a \(S\).

Il primo risultato su google ha scritto:To give an action of \(G\) on \(X\) is equivalent to giving a group homomorphism from \(G\) to the group of bijections of \(X\)

Che però mi fa pensare di avere semplicemente frainteso la definizione, perché effettivamente la rappresentazione \(\in\operatorname{Hom}(G,\mathfrak{S}(X))\) non è un prerequisito necessario per parlare di azione, ma può essere "ricostruita" da essa.

killing_buddha ha scritto:un'azione è un omomorfismo da \(G\) verso \(\operatorname{Aut}(X)\), oppure una funzione \(G\times X\to X\) tale che blah blah.

Ha senso parlare del gruppo degli automorfismi di un insieme qualunque?
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda killing_buddha » 03/09/2018, 23:06

Ha senso parlare del gruppo degli automorfismi di un insieme qualunque?

La nozione di azione di gruppo ha senso proprio in virtù del fatto che ha senso. Fare questo esercizio penso ti chiarirà le idee.

Un'azione (sinistra) di $G$ su $X$ è una funzione $a : G\times X\to X$ tale che (i) $a(1_G,x) = x$ per ogni $x\in X$ (ii) $a(g, a(h,x)) = a(gh, x)$ per ogni $g,h\in G$, $x\in X$. Dimostra che esiste una funzione dall'insieme $Act(G,X)$ delle azioni di $G$ su $X$ verso l'insieme degli omomorfismi di gruppo $G \to Aut(X)$. Dimostra che tale funzione è biiettiva.
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda marco2132k » 16/09/2018, 18:43

Scusa il ritardo (mentale), purtroppo gli impegni che ho avuto dall'ultima volta che ho controllato questa discussione mi hanno fatto completamente dimenticare di averla aperta, e distolto un po' da questi argomenti: nel (poco) tempo libero sono riuscito ad approfondire qualcosa :roll: .
Tornando a noi, grazie mille per le info: credo di avere chiara la definizione di azione di gruppo (almeno quella "classica").

Giusto per togliermi una curiosità: ha senso definire l'azione di un gruppo \(G\) su un insieme \(X\) come un omomorfismo \(G\to\operatorname{Aut}_{\mathrm{Set}}(X)\), quando appunto \(X\) è un oggetto di \(\mathrm{Set}\). Cosa succede se \(X\) appartiene ad una categoria qualsiasi? In altre parole, \(X\in\mathrm{C}\) implica sempre che \(\operatorname{Aut}_{\mathrm{C}}(X)\) sia 1) un gruppo (ok) 2) un insieme, tale che si possa parlare propriamente di omomorfismo (e non di "funtore che è un omomorfismo")? In altre parole di nuovo: in una categoria anche non localmente piccola, io non ho problemi a vedere \(Aut_{\mathrm{C}}(X)\) come gruppo, ma, volendo essere pignoli, questo coso non è un insieme che è un semigruppo che ha un unità che ecc...: va inteso categorialmente?
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Re: Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico

Messaggioda killing_buddha » 16/09/2018, 18:58

Che cosa ti preoccupa? Che $Aut(X)$ sia un insieme (e poi un gruppo, dato come è definito) fa parte degli assiomi di categoria. Perciò è esattamente essendo pignoli che "questo coso è un insieme che è un semigruppo che ha un unità che ecc..."

Puoi avere una "categoria" dove ci sono $\hom(A,B)$ che sono classi proprie, ma devi aggiustare un po' la teoria degli insiemi con qualche trick; la teoria è identica, al netto di avere degli oggetti che non sono insiemi. Questo funziona con diverse altre strutture algebriche. Un esempio: la classe degli ordinali è un monoide rispetto all'operazione di somma ordinale; un altro esempio: i numeri surreali formano un campo che però non è piccolo, è una classe propria.
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