Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda Carmine12 » 14/09/2018, 04:07

Purtroppo, essendo Settembre, la mia professoressa prima dell'esame, che sarà a breve, ha tenuto un solo ricevimento, e ad agosto l'ateneo era chiuso. Ho dunque domandato a un mio amico quello che gli ha detto, essendo stato quel giorno impossibilitato ad andare, ma non sono molto convinto...

Innanzitutto, gli avrebbe detto che per verificare se è possibile scrivere il polinomio di Taylor di n-esimo grado per Xo è necessario che la funzione non sia solo derivabile n volte (come credevo io) in Xo, ma anche che la stessa derivata n-esima sia continua. In tutta la teoria non ho mai trovato che in un intorno di Xo la funzione dovesse essere di classe di continuità n, e quindi credevo non fosse necessario verificare la continuità in Xo della derivata n-esima, ma solo se la (n-1)-esima derivata fosse a sua volta derivabile.

Inoltre, prescindendo dalla continuità della derivata n-esima, il mio collega ha capito che dobbiamo verificare per ogni derivata di grado inferiore ad n anche la continuità in Xo. Perché? Anche se fosse, se dimostriamo che la funzione è derivabile in un punto, non è là automaticamente anche continua in tale punto? Di certo esiste una proposizione che asserisce questo, e che non credo di mal interpretarla.


Infine, e questa è la domanda forse più importante, riguardo la classe di continuità, per gli esercizi dove chiede o dove è necessario calcolarlo, posso certamente dire che essa è C^oo, nel dominio, per polinomi ed esponenziali del tipo e^x, se non erro, oltre che per le funzioni periodiche (seno, coseno, tangente, arcotangente, arcocoseno e arcoseno) o sbaglio? Mi è stato riferito da molti che a parer loro lo sarebbe anche con le funzioni irrazionali, con indice pari o dispari, non ricordo. Ma mi sembra assurdo solo vedendo la radice quadrata di x nel piano cartesiano...ma potrei sbagliarmi. Ho qualche dubbio, invece, sulle funzioni di polinomi di stesso grado o di grado diverso sia al numeratore che al denominatore. E le logaritmiche?
Tutto questo mi serve, in particolare, per sapere se posso scrivere direttamente il polinomio di Taylor in un punto senza dover verificare la derivabilità n volte.


Grazie in anticipo per le risposte.
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda dissonance » 14/09/2018, 10:13

Si, tutte le funzioni "elementari" sono di classe \(C^\infty\) dove sono definite con qualche eccezione. La radice quadrata non è derivabile in \(0\) e similmente tutte le potenze con esponente minore di \(1\). Il valore assoluto, pure, non è derivabile in \(0\). Eccetera. È inutile stare a fare una lista qui, perché sarà sempre incompleta.

Comunque la questione della classe \(C^n\) o \(C^{n+1}\) per la formula di Taylor è stata discussa a volte. Si tratta in pratica di una sottigliezza. Se la funzione è solo derivabile \(n+1\) volte e non sai se la derivata sia continua o meno, ti vale la formula con l'o-piccolo ma potrebbero non valere altre formulazioni dell'errore (O-grande, resto integrale...). Ma non ho mai visto un esempio concreto e la cosa non è stata mai un problema per me.
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda Carmine12 » 15/09/2018, 08:52

Grazie per la risposta. Ma a parte l'ultima derivata,, dove il discorso è chiaro, bisogna verificare la continuità a ogni derivata k-esima? Il fatto di essere derivabile non implica la continuità in quel punto. Perché mai la mia professoressa avrebbe detto ciò?
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda dissonance » 15/09/2018, 08:59

Chiaramente se una funzione è derivabile n+1 volte in un punto, la sua derivata n-esima è continua in quel punto. Non ti preoccupare troppo delle parole della professoressa, specialmente perché ti sono state riportate dall'amico. Piuttosto, apri un libro!
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda Carmine12 » 16/09/2018, 15:29

Mi hai chiarito molte cose. Grazie mille davvero.
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda dissonance » 16/09/2018, 19:21

Prego, mi fa molto piacere, in bocca al lupo.
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Re: Delucidazioni sulla formula di Taylor

Messaggioda Carmine12 » 17/09/2018, 01:34

Crepi.
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