Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda xandrew93 » 16/09/2018, 14:20

Buongiorno, io ho questo limite che da un po' mi tormenta, ne ho svolti di simili ma su questo ho sempre avuto dubbi ed era in una prova dello scorso gennaio, quindi se mi capita qualcosa di simile vorrei saper come gestirmi.

Il limite e' questo, Wolfram dice che il risultato dovrebbe essere 1/2

Immagine

1) ho capito che $ ln(n+3/n) $ puo' essere $ ln(n/n+3/n) $ quindi $ ln(1+3/n) $ che e' equivalente a $ 3/n $ per la proprieta $ ln(1+f(x)) $ con $ x->0 $ e' equivalente a $ f(x) $
2) $ (4^sin(4/n^3) -1 )$ ~ $ ln(4)sin(4/n^3) $ che a sua volta puo' essere $ ln(4)(4/n^3) $ perche' $ sin(f(x)) $ ~ $ f(x) $ quando $ x -> 0 $
3) $ log4(1+3/n^2) $ ~ $ 3/ln(4)*n^2 $

ma poi mi rimane $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 2) $ che se fosse $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 1) $ sarebbe ~ a $ 1/2*(8/n^4) $ , ma non lo e' quindi non so come procedere e mi viene sempre 0/0.
Grazie
Ultima modifica di xandrew93 il 16/09/2018, 17:38, modificato 1 volta in totale.
xandrew93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 14
Iscritto il: 01/09/2018, 15:04

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda otta96 » 16/09/2018, 15:36

$4+8/n^4=4(1+2/n^4)$.
Per i prossimi messaggi cerca di non postare foto e scrivere le formule come spiegato qui, il risultato è molto più leggibile.
otta96
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1357 di 1458
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda xandrew93 » 16/09/2018, 17:34

Si pero' sara' comunque $ (4(1+2/n^4))^(1/2)-2 $ non $ (4(1+2/n^4))^(1/2) - 1 $ quindi non posso usare le stime asintotiche no ?
Vorrei usare $ (1+f(x))^c -1 $ ~ $ cf(x) $
xandrew93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 14
Iscritto il: 01/09/2018, 15:04

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda otta96 » 16/09/2018, 17:38

Raccogli il $2$.
otta96
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1359 di 1458
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda xandrew93 » 16/09/2018, 17:50

Giusto, quindi avendo $ 4(1+2/n^4) $ sotto la radice, tirando fuori il 4 avro' $ 2((1+2/n^4)^(1/2)-1) $ , quindi $ 2 * 1/2*(2/n^4) = 2/n^4 $ ?
il limite quindi sara' $ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / ((ln(4)*4/n^3) * (3/n^(2)*ln(4))) $ ma ora mi viene comunque 0 , faccio l'hopital ?

ho provato a semplificare ma mi viene $ 1/2 * ln^2(4) $
xandrew93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 14
Iscritto il: 01/09/2018, 15:04

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda otta96 » 16/09/2018, 18:01

Uno dei due logaritmi dovrebbe venirti a denominatore.
otta96
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1360 di 1458
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda xandrew93 » 16/09/2018, 18:13

otta96 ha scritto:Uno dei due logaritmi dovrebbe venirti a denominatore.


Risolto, praticamente ho scritto

$ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / ((ln(4)*4/n^3) * (3/n^(2)*ln(4))) $
al posto di
$ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / (((ln(4)*4)/n^3) * (3/(n^(2)*ln(4)))) $

ora mi viene $ (6/n^5) / (12 / n^5) $ quindi $ 1/2 $

Grazie mille :)
xandrew93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 7 di 14
Iscritto il: 01/09/2018, 15:04

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda otta96 » 16/09/2018, 18:19

Bene ;)
otta96
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1361 di 1458
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda xandrew93 » 16/09/2018, 18:48

Purtroppo ho incontrato un'altro che sembra ancora piu' tosto

$ lim x to 0 ((1+12x)^(1/3) - e^(2x)) / (arctan(2x)) $

se solo avessi $ (1+12x)^(1/3) - 1 $ potrei dire che e' ~ $ 1/3*12x = 4x $
pero' c'e $ e^(2x) $ che penso non mi dia altra possibilita` che fare le derivate ? qualche parere ?
xandrew93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 14
Iscritto il: 01/09/2018, 15:04

Re: Aiuto limite con stime asintotiche

Messaggioda otta96 » 16/09/2018, 19:36

Ma scusa, vuoi il $-1$? Metticelo!
otta96
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1362 di 1458
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: dargo, zerbo1000 e 32 ospiti