Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda giuliaa » 10/11/2018, 16:35

Ciao a tutti!
Sto cercando di trovare le derivate parziali della funzione $ F(x,y)=(1-a)\sinh(xy)-e^x\*\int_a^{3ay}e^{-t^2}\dt $
Il problema sta nel derivare l'integrale. Per esempio nel calcolare la derivata parziale rispetto a y avrò:
$ F_y(x,y)=-(-1 + a) x cosh(x y)+(d(-e^x\*\int_a^{3ay}e^{-t^2}\dt))/dy $
e non capisco come derivare la seconda parte.
Come dovrei procedere?
Grazie
giuliaa
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda Mephlip » 10/11/2018, 16:49

Non avete mai visto la derivata di una funzione integrale nel tuo corso?
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda giuliaa » 10/11/2018, 17:01

Mephlip ha scritto:Non avete mai visto la derivata di una funzione integrale nel tuo corso?


é la prima volta che mi trovo davanti ad un esercizio del genere con le derivate parziali.
Cioè non capisco se è corretto trattarla con il teorema fondamentale del C.I. o se devo usare altri metodi.
giuliaa
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda Mephlip » 10/11/2018, 17:17

La formula è (viene dalla derivazione sotto il segno di integrale)
$$\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, t)dt= f(x, \beta(x))\frac{d \beta(x)}{dx}- f(x, \alpha(x))\frac{d \alpha(x)}{dx}+ \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} dt$$
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda gugo82 » 10/11/2018, 23:02

@Mephlip: Troppo complicata e non necessaria.
Qui si tratta di derivare una funzione composta del tipo:
\[
y \mapsto \int_a^{\varphi (y)} f(t)\ \text{d} t =F(\varphi(y))
\]
con $F$ primitiva di $f$, ergo il TFCI basta ed avanza. :wink:
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2018, 01:36

Ciao giuliaa,

Se si ha

$G(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} g(t) dt $

allora

$d/(dy) G(y) = G'(y) = g(b(y)) \cdot b'(y) - g(a(y)) \cdot a'(y) $

Nel caso in esame $g(t) = e^{-t^2} $, $b(y) = 3ay \implies b'(y) = 3a $ e $a(y) = a \implies a'(y) = 0 $, per cui si ha:

$d/(dy) G(y) = g(3ay) \cdot 3a - g(a) \cdot 0 = 3a e^{-9a^2y^2} $

Dai un'occhiata anche all'ottimo post proprio di gugo82 in questo thread.
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda Mephlip » 11/11/2018, 13:06

@Gugo82: Volevo essere il più generale possibile e sono apparso come lo sterminatore di formiche con artiglieria pesante :D
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda giuliaa » 11/11/2018, 15:11

pilloeffe ha scritto:Ciao giuliaa,

Se si ha

$G(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} g(t) dt $

allora

$d/(dy) G(y) = G'(y) = g(b(y)) \cdot b'(y) - g(a(y)) \cdot a'(y) $

Nel caso in esame $g(t) = e^{-t^2} $, $b(y) = 3ay \implies b'(y) = 3a $ e $a(y) = a \implies a'(y) = 0 $, per cui si ha:

$d/(dy) G(y) = g(3ay) \cdot 3a - g(a) \cdot 0 = 3a e^{-9a^2y^2} $

Dai un'occhiata anche all'ottimo post proprio di gugo82 in questo thread.


Grazie mille, chiarissimo!
Se invece volessi derivare quella funzione rispetto alla x come mi dovrei comportare nel derivare l'integrale dato che l'intervallo dipende solamente dalla y? Devo trattare l'integrale come fosse un numero?
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Re: Derivate parziali di funzione contenente integrale

Messaggioda pilloeffe » 11/11/2018, 17:30

giuliaa ha scritto:Grazie mille, chiarissimo!

Prego! :smt023
giuliaa ha scritto:Se invece volessi derivare quella funzione rispetto alla x come mi dovrei comportare nel derivare l'integrale dato che l'intervallo dipende solamente dalla y? Devo trattare l'integrale come fosse un numero?

Beh sì, abbiamo visto che l'integrale è una funzione di $y$: quindi se derivi rispetto ad $x$ si comporta come una costante moltiplicativa di $- e^x $.
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