[ Teoria dei sistemi e Controlli automatici ]

Messaggioda polid » 04/12/2018, 15:04

Buonasera . :roll:
Dovrei rispondere a tre domande pero' ho qualche difficoltà .
( Secondo me le risposte sono : si , no , e' diagonalizzabile ) pero' non sono per niente sicuro.
Voi cosa ne dite ?

Prima domanda :
La matrice
$ ( A - I ) $ e' non singolare . $ lambda =1 $ e' un autovalore del sistema ?

a) si
b) no

Seconda domanda :
Sia la matrice $ ( A - 2I )$ pari a $ ( ( 1 , -3 ),( -2 , 6 ) ) $ ; $ lambda =2 $ e' un autovalore del sistema ?

a) si
b) no

Terza domanda :

Una matrice A è regolare se e solo se
a) è diagonalizzabile
b) ha rango pieno
c) ha autovalori distinti
polid
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Re: [ Teoria dei sistemi e Controlli automatici ]

Messaggioda polid » 06/12/2018, 08:41

Buongiorno.

Secondo voi e' giusto fare questo ragionamento per rispondere alla prima domanda ?

Prendo una qualsiasi matrice non singolare , sottraggo a questa matrice , la matrice identità , in questo modo :

$ A - I = ( ( 1 , 3 ),( 2 , -5 ) ) - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

$ = ( ( 1-lambda , 3 ),( 2 , -lambda -5 ) ) =lambda ^2+4lambda -11=0 $


$ lambda _1=-lambda -sqrt(15)-2 $

$ lambda _2=-lambda +sqrt(15)-2 $

Questo sta a significare che $ lambda $=1 non e' autovalore del sistema .

Puo' andar bene come ragionamento ?
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Re: [ Teoria dei sistemi e Controlli automatici ]

Messaggioda Quinzio » 08/12/2018, 21:03

Si, va bene, pero' gli autovalori di quella matrice sono:

$ lambda _1=-sqrt(15)-2 $

$ lambda _2=+sqrt(15)-2 $

e non come li hai scritti tu.

Una finezza:
in forma piu' compatta le soluzione di una quadratica si scrivono anche come $\lambda_{1,2} = -2 \pm \sqrt(15)$
Quinzio
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Re: [ Teoria dei sistemi e Controlli automatici ]

Messaggioda polid » 09/12/2018, 10:06

Grazie Quinzio.

C'e' anche un ragionamento teorico molto piu' veloce per rispondere a questa domanda pero' e' un po' complicato.
Si parla di endomorfismo e si eviterebbe di fare tutti i calcoli.
Pero' non l'ho capito. Ho postato la stessa domanda sul forum Algebra lineare e mi hanno dato una risposta molto teorica .
Per questo mi chiedo se e' meglio adottare un ragionamento pratico con calcoli oppure studiare e studiare la teoria rischiado di non capire .

Per questa domanda secondo te la risposta giusta qual'e' : ( leggendo su wikipedia credo la risposta giusta sia la seconda "b")

Una matrice A è regolare se e solo se
a) è diagonalizzabile
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