[Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda francrove1 » 07/12/2018, 12:42

Salve a tutti, avrei un dubbio sul calcolo delle rotazioni e spostamenti con lo sviluppo in serie di McLaurin. In particolar modo faccio fatica a capire tenendo conto delle condizioni ai limiti come si va avanti. Ad esempio se ho una trave appoggiata appoggiata di luce L con carico su metà luce io so che devo scrivere due funzioni di spostamento una che va da 0 a l/2 l'altra che va da l/2 a l. Ora quali sono le condizioni da mettere? e dunque come si arriva al calcolo delle rotazioni e spostamenti?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda Secco Jones » 07/12/2018, 12:50

In generale bisogna impostare condizioni di compatibilità con i vincoli e di congruenza interna
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda francrove1 » 07/12/2018, 20:05

In soldoni?
In questo caso pongo che lo spostamento a 0 e a L è uguale a zero. Dopodiché come si procede?
E se ho una trave incastro e appoggio in quel caso le condizioni le prendo solo dall'incastro o per forza da entrambi i vincoli?
Una volta appurato ciò il mio problema è poi calcolare le rotazioni e spostamenti. Non capisco come si fa. Mi potresti delucidare?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda Secco Jones » 07/12/2018, 20:17

Devi integrare l' equazione della linea elastica. Le condizioni al contorno ti sono dettate anche dai vincoli ovviamente, sia sugli spostamenti che sulla rotazione e ricorda che la rotazione è la derivata prima dello spostamento.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda francrove1 » 08/12/2018, 14:00

Le condizioni ai limiti mi sono chiare. Però ti ripeto non capisco come procedere. Esempio pratico so che nell'esercizio precedente metto che v(0)=0 e v(L)=0. Ora avendo due funzioni di v (in quanto vi è una discontinuità del momento) ora devo imporre v(0) in quale delle due? E v(L)?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda Secco Jones » 08/12/2018, 22:41

Beh, è chiaro che la condizione di $v_1(0)=0$ và posta per il primo tratto di trave, ovvero quello che va da $0$ ad $L/2$, la seconda per il secondo tratto di trave che va da $L/2$ ad $L$, quindi $v_2(L)=0$. Nel punto in comune devi porre la congruenza interna però ovvero $v_1(L/2)=v_2(L/2)$ e $v_1^'(L/2)=v_2^'(L/2)$ (stesso abbassamento e stessa rotazione).
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda francrove1 » 10/12/2018, 18:13

Purtroppo non riesco a trovarmi in nessun modo. Non è che sapresti indicarmi quale fonte a cui attingere?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda JoJo_90 » 10/12/2018, 20:26

Premesso che il consiglio principale rimane sempre quello di fare riferimento al testo adottato per il corso, ti posso dare qualche indicazione sommaria.

Il problema dell'equilibrio elastico flessionale per le travi elastiche piane è retto, sotto determinate ipotesi, da una equazione differenziale del quarto ordine (la simbologia può essere diversa rispetto a quella che adotti tu):
\[
\frac{\mathrm{d}^4 w(z)}{\mathrm{d}z^4} = \frac{q(z)}{\mathrm{EI}}
\]
La sua risoluzione permette di determinare la funzione $w(z)$ detta linea elastica; tale funzione fornisce l'abbassamento verticale di ogni sezione della trave, quindi consente di definire la deformata della trave sotto i carichi agenti.
L'equazione differenziale della linea elastica può essere risolta integrandola quattro volte; ad ogni passo di integrazione, esce fuori una costante di integrazione da determinate imponendo opportune condizioni al contorno sulla funzione $w(z)$ e/o sulle sue derivate. Queste condizioni al contorno possono essere di natura statica (se riguardano le funzioni statiche, ovvero la funzione taglio o la funzione momento) o cinematica (se riguardano abbassamenti o rotazioni); inoltre vanno imposte agli estremi della trave e in corrispondenza degli eventuali punti di discontinuità (anch'essi di natura statica o cinematica). In particolare, vanno sempre imposte 2 condizioni agli estremi e 4 condizioni in corrispondenza di ogni discontinuità.
Con riferimento alle condizioni al contorno, è inoltre bene tenere a mente il legame che esiste fra le funzioni taglio, momento, rotazione e le derivate della linea elastica:
\begin{align}
T(z) &= - \mathrm{EI} \cdot \frac{\mathrm{d}^3 w(z)}{\mathrm{d}z^3}\\[2ex]
M(z) &= - \mathrm{EI} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2}\\[2ex]
\varphi(z) &= - \frac{\mathrm{d} w(z)}{\mathrm{d}z}\\[2ex]
\end{align}

Come procedimento operativo, io sono solito distinguerlo in queste fasi: (1) scrittura dell'equazione differenziale, (2) integrazione della stessa, (3) imposizione delle condizioni al contorno, (4) esplicitazione delle condizioni al contorno, (5) calcolo delle c.c.

Detto ciò, veniamo al tuo esempio: trave doppiamente appoggiata con carico concentrato applicato in mezzeria.
Chiamiamo $A$ il primo appoggio, $C$ il punto di applicazione del carico e $B$ il secondo appoggio. Consideriamo anche che la presenza del carico concentrato rappresenta una discontinuità (in particolare della funzione taglio), quindi è necessario scrivere due equazioni differenziali: una per il tratto $\bar{AC}$ e una per il tratto $\bar{CB}$.

Cominciamo dal primo tratto.

Fase 1. Tenunto conto che non c'è carico distribuito, l'equazione sarà:
\[
\frac{\mathrm{d}^4 w_{\bar{\text{AC}}}(z)}{\mathrm{d}z^4} = 0
\]

Fase 2. Integrandola quattro volte si ottiene:
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}^3 w_{\bar{\text{AC}}}(z)}{\mathrm{d}z^3} &= c_1\\[2ex]
\frac{\mathrm{d}^2 w_{\bar{\text{AC}}}(z)}{\mathrm{d}z^2} &= c_1 \cdot z + c_2\\[2ex]
\frac{\mathrm{d} w_{\bar{\text{AC}}}(z)}{\mathrm{d}z} &= c_1 \cdot z^2/2 + c_2 \cdot z + c_3\\[2ex]
w_{\bar{\text{AC}}}(z) &= c_1 \cdot z^3/6 + c_2 \cdot z^2/2 + c_3 \cdot z + c_4
\end{align*}

Fase 3. Impongo le condizioni al contorno. Comincio da $A$ (sono a $z=0$). Devo scrivere due condizioni al contorno perché mi trovo ad un estremo della trave. Per capire che tipo di condizioni imporre, mi devo porre delle domande sulle funzioni $w(z)$, $\varphi(z)$, $T(z)$ ed $M(z)$. In particolare, mi devo chiedere se in $A$ conosco a priori il valore che esse assumono.

Quindi, posso dire qualcosa sulla funzione $w(z)$ (= abbassamento) in $A$? Sì, posso dire che esso è certamente nullo, perché l'appoggio impedisce le traslazioni verticali. Quindi la prima condizione che scrivo è:
\[
w_{\bar{\text{AC}}}(z)|_{z=0} = 0
\]
Ne devo scrivere un'altra. Passo alla funzione rotazione: posso dire qualcosa di certo su di essa? No, perché la rotazione è consentita dal vincolo, quindi a priori non posso saperne il valore. Non potendo dir nulla, vado avanti: posso dire qualcosa sulla funzione taglio? Ancora una volta no, può benissimo essere diverso da zero. Mi rimane la funzione momento. Posso dire che certamente il momento è nullo, quindi ecco la seconda condizione da imporre in $A$:
\[
M(z)|_{z=0} = 0
\]
Poiché le condizioni al contorno devono esprimersi in termini delle derivate della funzione $w(z)$, la precedente condizione, tenuto conto della $(2)$, diventa:
\[
- \mathrm{EI} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 w_{\bar{\text{AC}}}(z)}{\mathrm{d}z^2}\bigg|_{z=0} = 0
\]

Mi fermo quà. Prova a scrivere le condizioni al contorno in $B$ e in $C$ seguendo lo stesso ragionamento se ti ci trovi bene ad applicarlo.
Scritte tutte le condizioni al contorno, bisogna esplicitarle (lo vediamo in caso) e poi risolvere il sistema che ne viene fuori per calcolare le costanti di integrazione $c_1$, $c_2$, $c_3$ e $c_4$.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Svolgimento linea elastica con McLaurin

Messaggioda francrove1 » 12/12/2018, 22:37

Questo procedimento che hai detto tu sarebbe quello classico diciamo. Tuttavia il prof ci ha spiegato anche come ricavare la funzione spostamento tramite lo sviluppo in serie di Mclaurin attraverso il quale evito di svolgere tutti gli integrali sopra descrittomi. Ora mentre qui mi sono chiare le condizioni da imporre con Mclaurin cosa cambia? Cioè la mia confusione risulta semplicemente la determinazione delle condizioni al contorno e dove andarle ad inserire
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