\( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda marco2132k » 08/12/2018, 17:57

Ciao! Sia \( S \) un insieme non vuoto e non superiormente limitato in \( \mathbb{R} \). Voglio assicurarmi che \( \sup_{\widetilde{\mathbb{R}}} S = +\infty \) disponendo di una definizione dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \).

Premessa: Considero l'insieme dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come l'insieme \( \mathbb{R} \) a cui vengono aggiunti i due simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) tali che per ogni elemento \( x\in\mathbb{R} \) è \( x\neq\pm\infty \), oltre ad un ordinamento totale \( \leqq \) che \( -\infty\leqq x\leqq+\infty \).

Dove non indicato esplicitamente, la relazione d'ordine che compare \( {\leqq} \) è quella del poset dei reali estesi. Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).

Da questa (buona?) definizione discende ovviamente l'unicità di cose con la proprietà di \( \pm\infty \): \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è un poset di cui i due simboli sono rispettivamente il minimo ed il massimo.

Proposizione: Sia \( \emptyset\neq S\subset\mathbb{R} \); \( S \) non limitato superiormente in \( \mathbb{R} \) (l'insieme dei maggioranti reali di \( S \), \( S_{\mathbb{R}}^{*} \), è vuoto); allora \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi è \( \{+\infty\} \).
Dimostrazione Che sia \( +\infty \) maggiorante di \( S \) è ovvio. Sia \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \) un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, e sia \( x\in\mathbb{R} \). Se \( x\in S \), allora per def. di maggiorante è \( x\leqq m \). Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.

È accettabile? Si può migliorare?

EDIT: Corretto l'errore di battitura nella dimostrazione (parte incriminata in grassetto), notato dopo l'intervento di @fmnq
Ultima modifica di marco2132k il 09/12/2018, 11:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda Indrjo Dedej » 08/12/2018, 21:54

Ciao! Finalmente qualcosa di bello!
Parto con una breve considerazione per poi proseguire quando sono più fresco, perché ora non lo sono tanto.
marco2132k ha scritto:Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).

"sse"? A dire "se e solo se"? Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
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Usa $\exists$ e $\forall$. Non te lo scordare. ~ ancora io :-D
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda marco2132k » 08/12/2018, 22:36

grazie per la risposta!
Indrjo Dedej ha scritto:"sse"? A dire "se e solo se"?
Certo.

Indrjo Dedej ha scritto:Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
No. Per ora definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \). Questa cosa voglio sia un ordine totale.

Allora per ogni \( x, y \in\mathbb{R} \), è \( (x,y)\in{\leqq} \) se e solo se \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \), mentre ciò non vale per tutti gli elementi di \( \widetilde{\mathbb{R}} \).
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda fmnq » 09/12/2018, 00:31

marco2132k ha scritto: se fosse \( m\not\leqq x\) (ossia \( x < m\)

Qui c'è un garbuglio
perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)).

Ciò che lo rende assurdo è l'unicità di \(\pm\infty\).
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda Indrjo Dedej » 09/12/2018, 05:41

marco2132k ha scritto:definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \).

Così va meglio, non credi? :smile:
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda Plepp » 09/12/2018, 06:19

Ciao! Io la farei più breve; osserverei che
  • se \( m\in S^\ast_{\widetilde{\mathbb{R}}}\) e $S$ non è limitato superiormente in $RR$, allora $m\in RR\cup \{+\infty\}$ (in altre parole, cominci escludendo che $m=-\infty$);
  • non può essere \(m <_{\widetilde{\mathbb{R}}} +\infty\), altrimenti $S$ non sarebbe limitato superiormente in $RR$ (in quanto $m$ sarebbe un suo maggiorante in $RR$).
Ultima modifica di Plepp il 09/12/2018, 11:58, modificato 1 volta in totale.
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda marco2132k » 09/12/2018, 11:49

Allora, cominciamo dall'inizio :D

@fmnq L'ho notato solo ora, perdonami, è un errore di battitura: intendevo scrivere nell'OP1 (vd. correzione in grassetto):
me stesso ha scritto:Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi [...]
me stesso ha scritto:[...]cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
Qui intendo dire che se tale \( x\in\mathbb{R} \) fosse \( m\leqq x \), \( x\neq m \) (dove \( {\leqq} \) è l'ordine sui reali estesi) allora \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi; ossia, per ogni \( h\in S \), sarebbe \( h\leqq x \). Però (\( S \) non è vuoto comunque) avremmo allora che per ogni \( h\in S \) è \( h\leqq_{\mathbb{R}}x \) (relazione d'ordine canonica sui reali), e quindi (\( x\in\mathbb{R} \)) sarebbe automaticamente \( x\in S_{\mathbb{R}}^{*} \), insieme dei maggioranti reali di \( S \), che è vuoto.


@Indrjo Dedej
Indrjo Dedej ha scritto:Così va meglio, non credi? :smile:
Ti confesso che non mi è chiaro cosa ha di diverso quello che hai riportato tu dal messaggio originale :oops:


@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.

Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)

Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.

Note

  1. Che ho appena editato.
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda Plepp » 09/12/2018, 11:59

marco2132k ha scritto:@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.

Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)

Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.

Si scusa, è stata una svista. Ho corretto il post :-)
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda dissonance » 09/12/2018, 12:12

Indrio ha scritto:finalmente qualcosa di bello
Non sono d'accordo; questo thread mi ricorda quest'altro, recente, in algebra lineare:

viewtopic.php?p=8388885#p8388885
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
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Re: \( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi

Messaggioda marco2132k » 09/12/2018, 12:23

dissonance ha scritto:Non sono d'accordo

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
In effetti anch'io io sono d'accordo solo in parte: è una cosa piuttosto banale e "vuota". Però sono alle prime armi @dissonance :-D , 'ste verifiche mi aiutano a farmi un'idea più profonda della portata delle definizioni.
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