Condensatore piano riempito con dielettrico

Messaggioda harperf » 08/12/2018, 19:49

Ho un secondo esercizio che mi ha creato alcuni grattacapi e per cui non sono giunto a conclusione.

Immagine

La mia linea risolutiva è stata: "posso vedere il condensatore riempito di dielettrico come 3 condensatori in serie, anzi 2: vuoto e dielettrico"

Mi sono quindi calcolato

$C_1=\epsilon_0S/(h-d)$ vuoto

$C_2=\epsilon_r\epsilon0S/d$ dielettrico

ho cercato l'energia del condensatore scrivendola come

$U=1/2(Q^2)/(1/((1/c_1)+(1/C^_2)))$ e sostituendo

$U=1/2Q^2((h-d)/(\epsilon_0S)+d/(\epsilon_0\epsilon_rS))$

Ho poi derivato rispetto ad h e rispetto a d, perchémi sono detto, sono i due "spostamenti" $(dU)/(dd)$ e $(dU)/(dh)$ e sommo questi due contributi

$F=-1/2Q^2((-1/(\epsilon_0S)+1/(\epsilon_0\epsilon_rS))+(1/(\epsilon_0S)))=1/2Q^2/(\epsilon_0\epsilon_rS)$

Ma non funziona, ho fatto i conti! E non vedo l'errore.

Inoltre non capisco cosa accada se mantendo la differenza di potenziale costante.


Grazie per i vostri aiuti.
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Re: Condensatore piano riempito con dielettrico

Messaggioda Quinzio » 08/12/2018, 22:59

Perche' credo che devi mantere le proporzioni tra i due strati di dielettrico diversi.
Visivamente, un condensatore composto da diversi strati si allunga "a fisarmonica", se vuoi usare il metodo $(\text{d} U)/(\text{d} h)$.

Ovvero devi sostituire $d = 1/4h$ nella formula dell'energia $U$ e solo allora fai variare $h$ con $(\text{d} U)/(\text{d} h)$.

Un'altra via che fornisce una conferma e' ricordare che una carica in un campo elettrico ha forza $F = qE$.
La carica è $Q$ e il campo e' $V/h$.
Ovvero $F = (QV)/(h)$.

Ricordando che $Q=CV$, si arriva a $F=Q^2/(Ch)$.

Va tenuto conto che una armatura e' soggetto al campo elettrico dell'altra armatura, ma non a quello generato da essa.
Ovvero il campo elettrico e' la somma dei 2 semi-campi prodotti dalle due armature e ciascuna armatura reagisce al campo prodotto dall'altra. Ricompare quindi il coefficiente $1/2$ e questo porta alla formula finale
$F=1/2 Q^2/(Ch) $

che corrisponde a $(\text{d} U)/(\text{d} h)$
Quinzio
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Re: Condensatore piano riempito con dielettrico

Messaggioda harperf » 09/12/2018, 09:54

Ciao Quinzio e grazie per la risposta.

Ci sono due parti che non ho ben capito,

- La prima è perché all'inizio parlavi di $d=1/4h$ perché proprio quel valore, non ho capito come lo si deduca,è perché non 1/6h? 1/8?

- La seconda è sulla F finale, ho capito lo studio che hai fatto e come ci sei arrivato, ma in quella C dovrei metterci le C sommate come se fossero in parallelo, giusto?
Cioè avrei:

$F=1/2 Q^2/(Ch) $, con $C=1/(1/(1/C_2+1/C_1))$ [1] ?

(ricordando che C2 è $C_2=\epsilon_r\epsilon_0S/d$)

Però se così fosse non torna una cosa la F con il dielettrico è data da [1], ma la F senza sapendo che la F con una lastra nel mezzo, cioè come fossero due condensatori è $F=Q^2/(2\epsilon_0S)$ cioé una forza avrà un epsilon r, l'altra no. Come possono rimanere uguali del risultato?


Non credo di aver afferrato il tutto a dovere.
harperf
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Re: Condensatore piano riempito con dielettrico

Messaggioda Quinzio » 09/12/2018, 20:34

harperf ha scritto:Ciao Quinzio e grazie per la risposta.

Ci sono due parti che non ho ben capito,

- La prima è perché all'inizio parlavi di $d=1/4h$ perché proprio quel valore, non ho capito come lo si deduca,è perché non 1/6h? 1/8?

Perche' il testo dice che $h = 6 cm$ e $d = 1.5 cm$
- La seconda è sulla F finale, ho capito lo studio che hai fatto e come ci sei arrivato, ma in quella C dovrei metterci le C sommate come se fossero in parallelo, giusto?


Ok, devi mettere la capacita' complessiva, ma occhio che sono in serie, non in parallelo.
La formula l'hai scritta giusta.

Cioè avrei:

$F=1/2 Q^2/(Ch) $, con $C=1/(1/(1/C_2+1/C_1))$ [1] ?

(ricordando che C2 è $C_2=\epsilon_r\epsilon_0S/d$)

Però se così fosse non torna una cosa la F con il dielettrico è data da [1], ma la F senza sapendo che la F con una lastra nel mezzo, cioè come fossero due condensatori è $F=Q^2/(2\epsilon_0S)$ cioé una forza avrà un epsilon r, l'altra no. Come possono rimanere uguali del risultato?

Perche' varia il campo elettrico.
Quello che rimane costante e' il vettore spostamento $\bb D$.


Non credo di aver afferrato il tutto a dovere.
Quinzio
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