Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda dissonance » 11/12/2018, 19:03

In realtà manco \([0, 1)\cup (1, 2]\) è compatto, quindi la mia obiezione non significa niente. Pardon
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 14762 di 15840
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda otta96 » 11/12/2018, 21:51

Grande Bremen :smt023
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Bremen000 ha scritto:Un modo equivalente a quello dissonance per dimostrarlo è considerare che avere un insieme finito di punti che \( \epsilon \)-connette (ci siamo capiti, spero) $x$ e $y$ è una relazione di equivalenza. Allora $X$ e composto da classi di euivalenza disgiunte. Basta ora far vedere che ognuna di esse è aperta, come ha fatto dissonance.

Per il secondo punto, supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso e prendiamo due chiusi disgiunti $A$ e $B$ la cui unione è $X$. Siccome sono pure compatti la loro distanza è positiva e allora basta prendere $\epsilon$ più piccolo della loro distanza (o metà di essa, ora non ho tempo per fare i conti) e viene che due punti di $A$ e $B$ non possono essere \( \epsilon \) connessi (ci capiamo di nuovo).

Per esempio però lo spazio \( [0,1) \cup (1 , 2] \) soddisfa la proprietà del punto $(a)$ però non è connesso. E infatti non è compatto.

Tutto vero.

P.S. : mi scuso per la poca cura con cui è stato scritto questo post, ma ora non ho tempo per scrivere bene le cose ma l'esercizio mi pareva molto carino.

Non preoccuparti si capiva.

P.P.S. : @otta non hai mai più guardato l'esercizio sul teorema delle contrazioni che hai messo in "Pensare un po' di più" :snakeman:

Hai ragione, prometto che ti rispondo :wink: prima o poi :roll:

P.P.P.S. : @otta è la locale connessione per archi quello di cui parli?

No, di un'altra che a questo punto posso dire: uno spazio è connesso se e solo se per ogni ricoprimento aperto, per ogni coppia di punti $x,y$ nello spazio esiste una sequenza finita $U_i$ con $0\leq i\leq k$ del ricoprimento tali che $x\inU_0$, $y\inU_k$ e $U_i\cup U_(i-1)!=\emptyset$ per $1\leq i\leq k$.
Potete trovare questa cosa qui.

Per tutti quelli che hanno detto che l'esercizio era carino, ultimamente ho pensato di postare ogni tanto qualche esercizio di topologia non banale visto che questo forum è un mortorio da questo punto di vista e ho cominciato con questo, in seguito ne posterò sicuramente altri dello stesso tenore.
otta96
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1575 di 2105
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda Shocker » 11/12/2018, 22:41

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Bello!
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

"Se vivessimo in $\mathbb{R^4}$ allora nessuno si impiccherebbe perché in $\mathbb{R^4}$ tutti i nodi si sciolgono"
Avatar utente
Shocker
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 828 di 867
Iscritto il: 02/10/2011, 17:09

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda Bremen000 » 12/12/2018, 08:38

otta96 ha scritto:[...]
No, di un'altra che a questo punto posso dire: uno spazio è connesso se e solo se per ogni ricoprimento aperto, per ogni coppia di punti $x,y$ nello spazio esiste una sequenza finita $U_i$ con $0\leq i\leq k$ del ricoprimento tali che $x\inU_0$, $y\inU_k$ e $U_i\cup U_(i-1)!=\emptyset$ per $1\leq i\leq k$.
Potete trovare questa cosa qui.


Be' ma è bellissimo. Questa è esattamente la definizione di connessione più intuitiva che ci sia! Non l'avevo mai vista! Certo è meno maneggevole della definizione classica però fa davvero capire cosa si intende!

otta96 ha scritto:Per tutti quelli che hanno detto che l'esercizio era carino, ultimamente ho pensato di postare ogni tanto qualche esercizio di topologia non banale visto che questo forum è un mortorio da questo punto di vista e ho cominciato con questo, in seguito ne posterò sicuramente altri dello stesso tenore.


Be' è sicuramente un'ottima idea! Come vedi poi post interessanti come questo hanno un bel seguito (in termini di risposte e di visite). Io ho provato recentemente a mettere qualcosina in analisi superiore ma pare che debba trovare ancora il tipo adeguato di esercizi :(
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1084 di 1267
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Precedente

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: kaspar, solaàl e 25 ospiti