Riguardo alle radici $n$-sime di numeri interi.

Messaggioda j18eos » 19/12/2018, 08:51

Tutte\*\i sappiamo che la radice (aritmetica) \(\displaystyle n\)-sima di un numero intero (positivo od anche negativo se \(\displaystyle n\) è dispari) è un numero intero od un numero irrazionale.

Sfida: come dimostrereste il precedente teorema utilizzando la sola aritmetica?

Buon divertimento. :wink: :-D
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Re: Riguardo alle radici $n$-sime di numeri interi.

Messaggioda fmnq » 19/12/2018, 10:07

Mi sembra il solito trucco sulle frazioni che non sono più ridotte ai minimi termini: se $a^{1/n}$ è razionale, diciamo che è \(\frac{p}{q}\) e che wlog $p,q$ sono coprimi. allora \(a=\frac{p^n}{q^n}\) è intero, e del resto ciò significa che $q^n$ divide $p^n$, ma allora...

PS: se non dici cos'è "l'aritmetica", è difficile rispondere usando solo lei, no?
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Messaggioda j18eos » 19/12/2018, 11:17

...ed applichi il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica e concludi per assurdo.

Ne conosci un'altra? ;)
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Re: Riguardo alle radici $n$-sime di numeri interi.

Messaggioda dan95 » 24/12/2018, 00:55

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $a$ intero positivo e $n \in \mathbb{N}$, consideriamo l'insieme $S={a^n+1, a^n+2, \cdots, (a^n+1)^n-1}$.

Ora sia $b \in S$ allora $\root[n]{b}$ non è intero, infatti si ha $a<\root[n]{b}<a+1$.

Dunque supponiamo esistano due numeri interi positivi $p,q$ tali che:

1) $p>q$
2) $p^n/q^n=b$
3) $q$ non divide $p$

Ora, $b \in S$ quindi esiste $k$ intero positivo opportuno tale che $b=a^n+k$, in particolare dalla 2) segue che $p^n/q^n=a^n+k$. D'altra parte $q$ non divide $p$ quindi esistono $s$ e $0<r<q^n$ tali che $p^n=q^ns+r$, da cui $q^n(a^n+k-s)=r$, tuttavia segue che $a^n+k-s>0$ per ipotesi su $r$, quindi $r\geq q^n$ assurdo...
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Messaggioda j18eos » 24/12/2018, 14:17

@dan95
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Bella idea usare intelligentemente l'algoritmo della divisione euclidea. ;)
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