[Topografia] Trattamento statistico delle misure

Messaggioda giodisal22 » 14/01/2019, 13:11

Buona sera a tutti,
ho un problema con la risoluzione di questi esercizi. Non so come impostarli e non trovo niente in giro che mi possa aiutare. Potete darmi una mano? Grazie mille!!

1)Sapendo che la subsidenza di un caposaldo di livellazione è descritto dalla relazione lineare
H = a + bt
dove: H è la quota del punto
t è il tempo
a = (30.552 ± 0.003) m
b = (-0.0015 ± 0.0007) m/anno
calcolare la quota prevista dopo sette anni (al tempo t=7) e il suo s.q.m.

2)La quantità Y viene determinata conoscendo i valori sperimentali di a, b, θ e α
Y = a cosθ + b sinα
Determinare la varianza della variabile Y sapendo che:
a=(1.000 ± 0.001) m
b=(2.005 ± 0.001) m
θ=(0.01 ± 0.05) rad
α=(0.15 ± 0.07) rad
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Re: [Topografia] Trattamento statistico delle misure

Messaggioda TeM » 14/01/2019, 17:51

Ciao giodisal22, innanzitutto ben iscritto/a. :-)


In generale, data una funzione \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) dove ciascuna variabile è assegnata con la propria incertezza,
ossia \(x_i \pm \Delta x_i\), con \(i = 1,\,2,\,\dots,\,n\), allora segue che la funzione con la propria incertezza sia \(f \pm \Delta f\).

Nel caso particolare in cui tali variabili non siano correlate, allora segue che \(\Delta f \equiv \sqrt{\begin{aligned}\sum_{i = 1}^n\end{aligned} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \, \Delta x_i\right)^2}\).

Le incertezze \(\Delta x_i\) e \(\Delta f\) se sono il frutto di una sola misura sperimentale sono note come errore assoluto,
invece se sono il frutto di più misure sperimentali sono note come scarto quadratico medio (o deviazione
standard) e i rispettivi quadrati sono noti come varianza.


A titolo d'esempio, nel primo esercizio è assegnata la funzione \(H : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) di legge
\[
H(a,\,b,\,t) := a + b\,t\,,
\] da cui segue che le rispettive derivate parziali siano:
\[ \frac{\partial H(a,\,b,\,t)}{\partial a} = 1\,, \; \; \; \frac{\partial H(a,\,b,\,t)}{\partial b} = t\,, \; \; \; \frac{\partial H(a,\,b,\,t)}{\partial t} = b \,.
\] In particolare, dato che:

  • \(a = (30.552 \pm 0.003)\,m\);

  • \(b = (-0.0015 \pm 0.0007)\,m/anno\);

  • \(t = (7 \pm 0)\,anni\);
allora:

  • il valore medio è pari ad \(H = (30.552\,m) + (-0.0015\,m/anno) \cdot (7\,anni) = 30.5415\,m\);

  • lo scarto quadratico medio è pari a \(\begin{aligned} \Delta H & = \sqrt{\left[(1) \cdot (0.003\,m)\right]^2 + \left[(7\,anni) \cdot (0.0007\,m/anno)\right]^2 + \left[(-0.0015\,m/anno) \cdot (0\,anni)\right]^2} \\ & = 0.0057\,m\,. \end{aligned}\)

Lascio a te la risoluzione del secondo esercizio proposto come banco di prova. ;)
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Re: [Topografia] Trattamento statistico delle misure

Messaggioda giodisal22 » 14/01/2019, 18:57

Grazie mille per la risposta :).
Ho provato a farlo da quello che ho capito.
-Varianza
$ sigma^2 =[(0,001)(cos(0,01))]^2+[(1,000)(cos(0,05))]^2+[(0,001)(sen(0,15)]^2+[(2,005)(sen(0,007)]^2=1 $
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Re: [Topografia] Trattamento statistico delle misure

Messaggioda TeM » 14/01/2019, 20:10

Nel secondo esercizio è assegnata la funzione \(Y : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) di legge
\[
Y(a,\,b,\,\theta,\,\alpha) := a\,\cos\theta + b\,\sin\alpha\,,
\] da cui segue che le rispettive derivate parziali siano:
\[ \frac{\partial Y}{\partial a} = \cos\theta\,, \; \; \; \frac{\partial Y}{\partial b} = \sin\alpha\,, \; \; \; \frac{\partial Y}{\partial \theta} = - a\,\sin\theta, \; \; \; \frac{\partial Y}{\partial\alpha} = b\,\cos\alpha \,.
\] In particolare, dato che:

  • \(a = (1.000 \pm 0.001)\,m\);

  • \(b = (2.005 \pm 0.001)\,m\);

  • \(\theta = (0.01 \pm 0.05)\,rad\);

  • \(\alpha = (0.15 \pm 0.07)\,rad\);
allora:

  • il valore medio è pari ad \(Y = (1.000\,m)\,\cos(0.01) + (2.005\,m)\,\sin(0.15) = 1.29957\,m\);

  • lo scarto quadratico medio è pari a \(\begin{aligned} \Delta Y & = \sqrt{\left[\cos(0.01) \cdot (0.001\,m)\right]^2 + \left[\sin(0.15)\cdot (0.001\,m)\right]^2 + \left[-(1.000\,m)\,\sin(0.01) \cdot 0.05\right]^2 + \left[(2.005\,m)\,\cos(0.15)\cdot 0.07\right]^2} \\ & = 0.13878\,m\,; \end{aligned}\)

  • la varianza è pari a \((\Delta Y)^2 = 0.01926\,m^2\).
Insomma, si tratta di applicare una formula, ma va fatto correttamente. ;)
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