Convoluzione

Messaggioda esxpe » 14/01/2019, 16:53

salve, avrei dei dubbi su come svolgere una convoluzione tra:
$ x(t) = cos(2π14t)$
$ y(t) = 4e^ (−|t−2|) $

e ottengo i 2 integrali di convoluzione:
per t<2
$ int_(-oo )^(+2 )cos(2π14tau)4e^ (t−2-tau ) d tau $

per t>2
$ int_(2)^(+oo )cos(2π14tau)4e^ (-t+2-tau ) d tau $

mi potreste aiutare a capire come iniziare a svolgerli?
Grazie infinite
esxpe
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 10
Iscritto il: 26/08/2018, 10:49

Re: Convoluzione

Messaggioda gugo82 » 15/01/2019, 01:16

Per parti.
Ovviamente, $t$ è un parametro.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 20450 di 22041
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: Convoluzione

Messaggioda Quinzio » 15/01/2019, 21:01

esxpe ha scritto:salve, avrei dei dubbi su come svolgere una convoluzione tra:
$ x(t) = cos(2π14t)$
$ y(t) = 4e^ (−|t−2|) $


Calma calma !
Andiamo con ordine.

In una delle due funzioni operiamo il cambio di variabile $t -> \tau$
e nell'altra $t -> t-\tau$.

Quindi l'integrale di convoluzione e':
$\int_{-infty}^{+infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^|t−2-tau| d\tau$

Ora discutiamo quel modulo, ovvero
$|t−2-tau| = (t−2-tau)$
se $\tau < t-2$

e

$|t−2-tau| = -(t−2-tau)$
se $\tau >= t-2$

Ora, una cosa che si omette sempre e che quindi spesso si dimentica, dell'integrale definito, e' che gli estremi sono riferiti alla variabile d'integrazione, ovvero l'integrale di prima andrebbe scritto così:
$\int_{\tau = -infty}^{tau = +infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^|t−2-tau| d\tau$
Normalmente questa omissione non crea problemi, salvo i casi come questi dove alla fine non ci si raccapezza piu'.

Esplicitando invece la variabile d'integrazione negli estremi diventa semplice scrivere l'integrale separato in due pezzi.

$\int_{\tau = -infty}^{tau = t-2} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^((t−2-tau)) d\tau + \int_{\tau = t-2}^{tau = +infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^-(t−2-tau) d\tau $

Il fatto che un estremo di integrazione contenga un parametro usato anche nella funzione integranda non deve preoccupare, a $\tau$ si sostituisce tranquillamente $t-2$ una volta trovata la primitiva.
L'integrale si risolve per parti, come giustamente faceva notare gugo, ma si intravede gia' che quegli estremi all'infinito vanno trattati con delicatezza.
Quinzio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4205 di 4299
Iscritto il: 24/08/2010, 07:50


Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite