Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Jaeger90 » 13/02/2019, 19:47

Mephlip ha scritto:Prova a porre $-\frac{1}{x}=y$: hai che
$$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y^2}$$

Hm... penso che questo si possa risolvere solo direttamente con l'ordine di infinito.
Normalmente mi riferisco a questo formulario.
E n^x cresce più rapidamente che x^n. Però in questo caso non ho un n^x ma un numero m>n, m^x. Come dovrei comportarmi in questi casi?
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Mephlip » 13/02/2019, 19:50

Se non ricordo male, in un'altra domanda ti feci vedere come si risolve questo problema utilizzando il criterio del rapporto/radice per successioni e poi utilizzando il teorema ponte :D
Comunque $2^x < e^x < 3^x$ se $x>0$, perciò...
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Jaeger90 » 13/02/2019, 19:59

Mephlip ha scritto:Se non ricordo male, in un'altra domanda ti feci vedere come si risolve questo problema utilizzando il criterio del rapporto/radice per successioni e poi utilizzando il teorema ponte :D
Comunque $2^x < e^x < 3^x$ per monotonia dell'esponenziale in base $a>1$, perciò...

Giusto, $n^x>x^m$ Per ogni n>=2, Per ogni m in $R$.
Visto che sto un po' tonto, in una gerarchia di infiniti, quando si scopre il numero che cresce più velocemente si fa finta che esso sia infinito e che l'altro sia un numero reale, mentre nella gerarchia di infinitesimi si fa finta che il numero che tende a 0 più velocemente sia 0 e che l'altro sia n, giusto? :D
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Mephlip » 13/02/2019, 20:03

Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore :D
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Jaeger90 » 13/02/2019, 23:57

Mephlip ha scritto:Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore :D

Perfetto, thanks. :)
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Jaeger90 » 15/02/2019, 20:15

Mephlip ha scritto:Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore :D

Una cosa veloce.. so che, per il grafico della scala di infiniti che avevo linkato, $n!>3^x$, ma per capire meglio come questa cosa si generalizza vorrei chiedere se anche tipo $(n-999....999)! > 999....999^x$, cioè se questo vale non solo per $n!$ ma anche per $(n-m)!$ e per ogni base dell'esponenziale.
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Re: limite da sinistra con forma indetermianta

Messaggioda Mephlip » 15/02/2019, 20:21

Usa il criterio del rapporto con le successioni $a_n=\frac{(n-m!)}{m^n}$ e $b_n=\frac{(n-m!)}{k^n}$, giungerai alla soluzione!
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