Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali

Messaggioda Paola123 » 05/02/2019, 21:14

Buonasera;
sono nuova nel forum, pertanto mi scuso per eventuali imprecisioni.
Il mio quesito riguarda la verifica dei criteri di esistenza ed unicità per equazioni differenziali.
Nello svolgimento di un problema di Cauchy, il mio professore verifica innanzitutto la continuità della funzione, e successivamente la Lipschitzianetà locale.
Si può , in luogo di quest'ultima, verificare semplicemente che la derivata di F(t,y) rispetto ad y sia continua?
Inoltre, se verifico che tali condizioni sono soddisfatte su tutto R, questo implica che R è l'intervallo di definizione massimale?
(Su questo ho seri dubbi)
Se non sono soddisfatte in un punto, cosa si può concludere sul problema?
Ad esempio , considerando in problema di Cauchy :
$ {y' = -ty^3 , y(1) = 1 $
la soluzione è \( y = 1/t \)
definita in \( (0, + \infty ) \)
Tuttavia semplicemente verificando le due condizioni di esistenza ed unicità , esse risultano vere su tutto R.
Qual è dunque il collegamento tra tali condizioni e la risoluzione del problema?
Grazie in anticipo
Paola123
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Re: Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali

Messaggioda Mephlip » 06/02/2019, 00:04

Sì, puoi verificare che la funzione sia di classe $C^1$ in $y$ uniformemente in $t$; questo perché se una funzione è di classe $C^1$ è anche lipschitziana (dimostratelo, è fattibile!).
L'intervallo massimale è, a livello semi-intuitivo, il più grande aperto che contiene la condizione iniziale.
A me sembra che la soluzione sia definita su $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$ e non solo su $(0,+\infty)$; quindi suppongo che quello fosse già l'intervallo massimale, che infatti è stato scelto come $(0,+\infty)$ in quanto $y(1)=1 \in (0,+\infty)$.
Quindi no, in questo caso non c'è una correlazione diretta tra l'essere $C^1$ su $\mathbb{R}$ ed avere $\mathbb{R}$ come intervallo massimale; il collegamento è che se non esiste una soluzione non ha senso cercarla, se esiste è utile sapere se essa è unica oppure no.
Comunque ti consiglio di aspettare pareri più esperti del mio, anche se mi sembra tu abbia confusione nel correlare i teoremi di esistenza/esistenza ed unicità locale con l'intervallo massimale di definizione della soluzione.
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Re: Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali

Messaggioda Fioravante Patrone » 11/02/2019, 17:43

Mephlip ha scritto:L'intervallo massimale è, a livello semi-intuitivo, il più grande aperto che contiene la condizione iniziale.
A me sembra che la soluzione sia definita su $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$ e non solo su $(0,+\infty)$; quindi suppongo che quello fosse già l'intervallo massimale, che infatti è stato scelto come $(0,+\infty)$ in quanto $y(1)=1 \in (0,+\infty)$.

Attenzione. La soluzione di una equazione differenziale è sempre definita su un intervallo. Altrimenti si perde il senso di cosa sia una equazione differenziale. Capire questo fatto è essenziale per sperare di aver capito cosa è una equazione differenziale, al di là di formule e teoremi.
E non a caso, infatti, si parla di intervallo massimale, e non di aperto massimale.
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Re: Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali

Messaggioda Mephlip » 13/02/2019, 12:42

Ciao Fioravante, in effetti tutta la teoria sulle equazioni differenziali ordinarie è fatta considerando come insieme di partenza della soluzione un intervallo.
Perciò concordo sul fatto che la soluzione debba essere definita in $(0,+\infty)$ e non in $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$, perché quest'ultimo è un'unione di intervalli; quindi non è effettivamente l'ambiente in cui ci siamo posti quando trattiamo di equazioni differenziali.
Però perché? Cosa succede se siamo in un'unione di intervalli anziché in un intervallo?
Mi viene da pensare che, unendo intervalli, si possano perdere proprietà importanti (forse la derivabilità :)); se non ricordo male, non tutte le proprietà di una funzione mantengono quando si "incollano" intervalli.
Grazie, come sempre, per gli spunti di riflessione!
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Re: Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali

Messaggioda Fioravante Patrone » 13/02/2019, 23:28

Mephlip ha scritto:...
Però perché? Cosa succede se siamo in un'unione di intervalli anziché in un intervallo?
Mi viene da pensare che, unendo intervalli, si possano perdere proprietà importanti (forse la derivabilità :)); se non ricordo male, non tutte le proprietà di una funzione mantengono quando si "incollano" intervalli.
...

La risposta al perché la soluzione di una equazione differenziale la si consideri solo su un intervallo non sta nel fatto che potrebbero perdersi delle proprietà della soluzione.
Non è neanche questione di definizione, ma è qualcosa che sta a un livello di significatività maggiore.

Cosa è una equazione differenziale? E' un marchingegno matematico col quale si vuole ad esempio (certo questo è ben lungi dall'essere l'unico caso, ma uso questo per comodità del discorso) scoprire quali valori assuma una grandezza a vari istanti. Per esempio, quanta acqua contiene un serbatoio in questo istante, o fra un'ora(*), o quanto varierà nella prossima mezz'ora, etc.

Quale è il grimaldello, l'idea CHIAVE per arrivarci? E' seguire "passo passo" l'evoluzione della grandezza. Ovvero, cercare di capire quale sia il valore della grandezza al tempo $t+\Delta t$, partendo dal suo valore al tempo $t$ più qualche altra informazione (rubinetti aperti, fori da qualche parte, etc). Con l'idea che, quanto è più piccolo $\Delta t$, più precisi saremo (il buon vecchio Leibniz ci sta urlando in un orecchio di usare $dt$). Ovviamente non basta poter connettere il valore che la grandezza assume al tempo $t$ con quello a $t+\Delta t$: servirà poter passare dal valore all'istante $t + \Delta t$ a quello assunto all'istante $t + 2\Delta t$, ... Ma per poter fare questi passaggi si richiede che non ci siano "buchi" in mezzo. Insomma, dobbiamo essere su un INTERVALLO. Se c'è un buco, ci salta la connessione.

Quindi è per aderire a questa idea di fondo che la definizione di soluzione per una equadiff richiede che essa sia prima di tutto una funzione definita su un intervallo.

E questo alla faccia di tutti quelli (me compreso) che dicono sempre che le definizioni in matematica sono completamente arbitrarie (magari evitando di grazia di introdurre contraddizioni). E' vero che sono arbitrarie, ma di certe definizioni non sappiamo che farcene, se non sono riconducibili a qualcosa di sensato.

Spero di essere stato sufficientemente confuso


(*) Vedi qui: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm
il pdf
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.pdf


PS: dimenticavo, prego!
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