Trasformazione logaritmica di una normale

Messaggioda andre9000 » 09/02/2019, 11:22

CIao ragazzi

Volevo chiedere, se $W$ si distribuisce come una normale media mu e varianza sigma^2, se applico $ln W$ questa come si distribuisce? Devo utilizzare la funzione generatrice dei momenti?
andre9000
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Re: Trasformazione logaritmica di una normale

Messaggioda arnett » 09/02/2019, 11:31

Credo che la domanda non sia ben posta: qualsiasi siano i suoi parametri, $W$ prende con probabilità non nulla anche valori negativi, quindi non puoi applicarle un logaritmo in generale.

Forse hai in mente il contrario? Cioè è una distribuzione notevole la log-normale, cioè $expW$.
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Re: Trasformazione logaritmica di una normale

Messaggioda andre9000 » 09/02/2019, 11:37

Provo a scrivere tutto l'esercizio:

data $U=10+ln(W)$ dove $W$ è la ricchezza e supponendo che si distribuisca come una normale, ricavare che $E(U)$ è funzione unicamente della media e della varianza di W

Volevo rispondere applicando a U il valore atteso ma forse sto sbagliando ragionamento
andre9000
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Re: Trasformazione logaritmica di una normale

Messaggioda Gughigt » 09/02/2019, 11:43

Più che sulla distribuzione rifletti su cosa significa avere a) una fz di utilità concava (cfr. agente avverso al rischio); b)relazione tra principio media-varianza e utilità attesa.
Non guardare solo alla parte quantitativa ma pensa alla teoria economica sottostante.
Imagine how hard physics would be if electrons could think
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Re: Trasformazione logaritmica di una normale

Messaggioda arnett » 09/02/2019, 11:58

andre9000 ha scritto:data $U=10+ln(W)$ dove $W$ è la ricchezza e supponendo che si distribuisca come una normale


Ma direi che qui è $U$ a distribuirsi come una normale. Se è così il problema è il seguente: sappiamo che $logW=U-10~N(\mu, \sigma^2)$. Vogliamo mostrare che se conosciamo $\mathbb{E}[W]$ e $Var(W)$ allora conosciamo pure $\mu$ e $\sigma^2$ e di conseguenza anche $\mathbb{E}[U]$ e $Var(U)$.

Ma se $logW$ è normale di parametri $\mu$ e $\sigma^2$, allora $W$ si distribuisce (per def.) come una log-normale con gli stessi parametri. Facendo i calcoli (che vabbé si fanno la prima volta, poi sono relazioni che trovi sulle tabelle) si trova che le medie e le varianze di $N$ e $W$ sono legate dalle relazioni:
$\mathbb{E}[W]=exp(\mu+\sigma^2/2), \quadVar(W)=exp(2\mu+\sigma^2)(e^{\sigma^2}-1)$


Si tratta ora di invertire queste relazioni e successivamente di ricondursi da $\mu$ e $\sigma^2$ a $\mathbb{E}[U]$ e $Var(U)$.
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