Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda Lexor » 11/02/2019, 00:07

Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio. Non saprei se la prima parte l'ho fatta corretta, mentre la seconda ho qualche dubbio su come iniziarla.

Sia X una variabile casuale con supporto $S_X = [0,1]$ e funzione di densità di probabilità di forma $p_x (x) = ce^x$ per $x in S_X$ e 0 altrove. Si completi la definizione della funzione di densità di X, determinando il valore della costante di normalizzazione c. Si calcoli la funzione di ripartizione di X, esplicitandone tutti i suoi tratti. Si ottengano mediana e moda di X. Sia infine $T = X^2$. Si ottengano supporto e funzione di ripartizione di T e si calcoli $P(T = 0.62)$.

Per prima cosa ho risolto l'equazione $1 = \int_0^1 ce^x dx$ trovando che $c = 1/(e-1)$

$F_X (x) = {(1/(e-1) e^x,if x in [0,1]),(0,if x notin [0,1]):}$

Dopo di che ho calcolato la funzione di ripartizione nei vari tratti:

Caso $x < 0$

$\int_-infty^x 0 dx = 0$

Caso $0 <= x <= 1$

$\int_-infty^0 0 dx + \int_0^x 1/(e-1) e^x dx = 0 + (e^x -1)/(e-1) = (e^x -1)/(e-1)$

Caso $x > 1$

$\int_-infty^0 0 dx + \int_0^1 1/(e-1) e^x dx + \int_1^x 0 dx= 0 + 1 + 0 = 1$

Quindi
$F_X (x) = {(0,if x<0),((e^x -1)/(e-1),if 0<= x <= 1),(1,if x>1):}$

Ho calcolato la moda:

$p(0) = (e^0)/(e-1) = 0.58$
$p(1) = (e^1)/(e-1) = 1.58$

Qui però p(1) viene un valore maggiore di 1, qual'è l'errore?

E la mediana:

$(e^x -1)/(e-1) = 1/2$ trovando che $x = log((e+1)/2) = 0.27$

E qui vorrei capire se fino ad adesso ho fatto tutto giusto. Ora invece è la parte dove non saprei come comportarmi.

Mi viene detto che $T = X^2$, quindi semplicemente me lo ricavo facendo $(1/(e-1) e^x)^2$?
Invece per trovare il supporto di T cosa devo fare?

Grazie in anticipo
Lexor
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda arnett » 11/02/2019, 01:08

Ciao

Per prima cosa ho risolto l'equazione $1 = \int_0^1 ce^x dx$ trovando che $c = 1/(e-1)$


Giusto. Allora \[f_X(x)=\frac{e^x}{e-1}\mathbb{I}_{[0, 1]}(x)\] con la $f$ minuscola.

Quindi
$F_X (x) = {(0,if x<0),((e^x -1)/(e-1),if 0<= x <= 1),(1,if x>1):}$


Giusto.

Qui però p(1) viene un valore maggiore di 1, qual'è l'errore?


Intanto che qual è non vuole apostrofo :-D
A parte questo, questa è una distribuzione continua. Quindi $f_X(x_0)$ non rappresenta la probabilità che $X$ sia uguale a $x_0$. Infatti la probabilità che $X=x_0$ per un valore $x_0$ fissato è sempre nulla per distribuzioni continue. Quindi il concetto di moda non è bendefinito.

E la mediana: $(e^x -1)/(e-1) = 1/2$ trovando che $x = log((e+1)/2) = 0.27$

Giusto

Mi viene detto che $T = X^2$, quindi semplicemente me lo ricavo facendo $(1/(e-1) e^x)^2$?

No no. Ci sono molte strade per risolvere questo problema, siccome sembra che tu non lo abbia mai visto ti mostro la più elementare. Sia $T=X^2$. Cerchiamo $F_T(t)=\mathbb{P}(T<=t)=\mathbb{P}(X^2<=t)=\mathbb{P}(-\sqrt{t}<=X<=\sqrt{t})=...$
Ora prova a andare avanti tu con i conti: ho solo usato la definizione di funzione di ripartizione e lavorato sulla disuguaglianza.
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda Lexor » 11/02/2019, 02:15

Quindi sfruttando le proprietà della funzione di ripartizione trovo (correggimi se sbaglio):

$P(- sqrt(t) <= X <= sqrt(t)) = F_X(sqrt(t)) - F_X(-sqrt(t)) + F_X(X = -sqrt(t))$

Essendo che la funzione è continua, $F_X(X = -sqrt(t)) = 0$ allora il tutto è uguale a $F_X(sqrt(t)) - F_X(-sqrt(t))$

Quindi per calcolare $F_X(sqrt(t))$ e $F_X(-sqrt(t))$ devo calcolare i due integrali

$F_X(-sqrt(t)) = \int_-infty^-sqrt(t)X$
$F_X(sqrt(t)) = \int_-infty^sqrt(t)X$

È corretto così?
Magari sbaglierò, ma essendo che il supporto di X è tra 0 e 1, il primo integrale vale 0 mentre il secondo devo spezzarlo tra $-infty$ e 0 dove vale 0 e tra 0 e $sqrt(t)$ oppure devo calcolare tutto in modo diverso?
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda arnett » 11/02/2019, 09:34

$F_X(X = -sqrt(t))$


Questa scrittura è priva di significato. Non puoi nemmeno mettere una variabile aleatoria brutalmente dentro un'integrale1, tu stai integrando la densità.

Il resto è sostanzialmente corretto, io sarei passato subito a scrivere che $\mathbb{P}(-\sqrt{t}<=X<=\sqrt{t})=\int_{-\sqrt{t}}^{sqrt{t}}f_X(x)dx$, poi fai la discussione che hai fatto sull'estremo inferiore di integrazione e trovi che $F_T(t)=F_X(\sqrtt)$.

Note

  1. qualcuno dà significato a questa operazione, ma è una cosa che ora non c'entra
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda Lexor » 11/02/2019, 13:45

Quindi risolvo i due integrali

$\int_-sqrt(t)^0 1/(e-1) e^x dx = 1/(e-1) (e^0 - 1/e^sqrt(t)) = 1/(e-1) * 0/e^sqrt(t) = 0$

$\int_0^sqrt(t) 1/(e-1) e^x dx = 1/(e-1) (e^sqrt(t) - e^0) = (e^sqrt(t) -1)/(e-1)$

E trovo che la funzione di ripartizione di T è:

$F_X = {(0,if t < 0),((e^sqrt(t) -1)/(e-1),if 0<=t<=1),(1,if t>1):}$

Come faccio invece a dire qual'è il supporto? È semplicemente $S_T = [0,1]$ come X, in quanto la funzione è uguale a 0 se inferiore a 0 e uguale a 1 se maggiore di 1?
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda arnett » 11/02/2019, 14:07

Il risultato è giusto ma hai sbagliato il primo integrale. Viene nullo poiché l'integranda è nulla tra $-\sqrtt$ e $0$.

Quanto al supporto sì, ma è un puro caso che venga uguale al supporto della variabile di partenza. In generale non è così.
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Re: Esercizio su funzione di ripartizione

Messaggioda Lexor » 11/02/2019, 17:54

Perfetto, adesso mi è tutto più chiaro. Grazie mille per l'aiuto :smt023
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