Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 11/02/2019, 17:29

Salve, ho qualche perplessità sugli integrali impropri.
L'esercizio in esempio mi chiede di stabilire se un integrale è convergente e in caso affermativo di calcolarlo.
Il fatto è, per capire se un integrale è convergente non devo di per se calcolarlo? :shock:

$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx $

Vedo che la funzione è continua in $R$ e quindi anche nell'intervallo chiuso di integrazione.
Mi rimando alla funzione più semplice $1/x^2$ facendo l'equivalenza asintotica
$(x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) = (x2*sqrt(1+1/x^2)) /(x^4*(1+2/x^2+1/x^4)) ~~_(x->+oo) 1/x^2 $
E quindi studio ora l'integrale improprio di questa nuova funzione equivalente
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) 1/x^2 dx = lim_(M->+oo) (-1/M+1) = 1$
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?

Invece sul testo delle soluzioni dice prima che l'integrale di seconda specie converge perché $1/x^2$ è infinitesima e poi fa delle sostituzioni con $x^2+1=t^2$ e alla fine dice che l'integrale da come risultato $1/sqrt(2)$
:smt012
Jaeger90
New Member
New Member
 
Messaggio: 34 di 67
Iscritto il: 29/01/2018, 17:21

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 17:50

Ciao,

tu hai mostrato che l'integranda va come $\frac{1}{x^2}$, che notoriamente è un integrale convergente su $[1,+\infty)$, dunque, per confronto asintotico, allora pure l'integrale di partenza è convergente.

Tu sbagli qui:
Jaeger90 ha scritto:A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?


Puoi solo dire che converge (per confronto asintotico appunto), ma non a quale valore converge.

Poi il testo, vista la semplicità dell'integranda, nota che al denominatore hai il quadrato di $(x^2+1)$, e lo risolve esplicitamente. Bada bene che però spesso questo non si può risolvere esplicitamente, ed è per questo che ha senso chiedersi a priori se converga o meno.
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2425 di 2458
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 11/02/2019, 17:56

In che senso è notoriamente convergente? In base a quali regole? Perchè non riesco a trovare dei proceduimenti generici per capirlo...
Poi mi sembra strano che se comunque le funzioni son praticamente equivalenti convergono in modo diverso. Non che non mi fidi ovviamente, solo che magari c'è una spiegazione più dettagliata sul perchè ciò accada che tu sappia?
Grazie.
Ultima modifica di Jaeger90 il 11/02/2019, 18:03, modificato 1 volta in totale.
Jaeger90
New Member
New Member
 
Messaggio: 35 di 67
Iscritto il: 29/01/2018, 17:21

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 18:03

Beh, prenditi un testo di Analisi I se vuoi convincertene per bene. Diciamo che "intuitivamente" anche se le funzioni hanno un andamento simile, non c'è nessuna ragione per cui uno debba aspettarsi che l'area sottesa sia la stessa. Un esempio è proprio quello che hai parzialmente risolto nel primo post di questa discussione.

Ho detto notoriamente perché è uno degli integrali "impropri" notevoli che vengono presentati nei corsi di analisi. Comunque, per vedere che è convergente si può fare benissimo come hai fatto tu e vedendo che quel limite è finito, che alla fine è quello che viene più o meno presentato anche nei libri.
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2426 di 2458
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 11/02/2019, 18:42

Perfetto, grazie. Il mio libro non riporta nulla riguardo gli integrali impropri notevoli in effetti.

Comunque allo stesso modo mi è bastato calcolare l'integrale iniziale per sostituzione ed è uscito.
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx = lim_(M->+oo) int_(1)^(M) (t^-2 dt) = 1/sqrt(2) $
Grazie. :D
Jaeger90
New Member
New Member
 
Messaggio: 36 di 67
Iscritto il: 29/01/2018, 17:21

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 18:43

Ma è quello che avevi già scritto all'inizio tu ! :)

Felice che tu ti sia chiarito
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2427 di 2458
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda pilloeffe » 11/02/2019, 19:18

Ciao Jaeger90,
feddy ha scritto:Ho detto notoriamente perché è uno degli integrali "impropri" notevoli che vengono presentati nei corsi di analisi.

L'integrale improprio notevole di cui ha scritto feddy è l'integrale improprio con intervallo di integrazione $ [a, +\infty) $ seguente:

$\int_a^{+\infty} 1/x^p \text{d}x $

che converge se $p > 1 $ e diverge se $p <= 1 $
Mi sembra strano che il docente ti abbia assegnato l'esercizio che hai proposto senza parlartene, ma tutto può essere... :wink:
Assodato che converge, cosa che comunque conviene sempre sapere prima per evitare di avventurarsi in calcoli inutili, si può calcolare (occhio che il calcolo che hai svolto è errato... :wink:) e si ha:

$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x $

A questo punto porrei $t := x^2 + 1 \implies \text{d}t = 2x \text{d}x $ per cui si ha:

$\int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^4+2x^2+1) \text{d}x = \int_{1}^{+\infty}(x\sqrt(x^2+1))/(x^2+1)^2 \text{d}x = 1/2 \int_{2}^{+\infty}(\sqrt(t))/t^2 \text{d}t = 1/2 \int_{2}^{+\infty}t^{-3/2}\text{d}t = [- t^{-1/2}]_2^{+\infty} = $
$ = [- 1/sqrt{t}]_2^{+\infty} = 1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
pilloeffe
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2513 di 2548
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 19:24

come al solito sei una garanzia @pilloeffe :)
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2428 di 2458
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 13/02/2019, 19:20

pilloeffe ha scritto:Assodato che converge, cosa che comunque conviene sempre sapere prima per evitare di avventurarsi in calcoli inutili, si può calcolare (occhio che il calcolo che hai svolto è errato... :wink:)

Ma.. ho visto la soluzione ed usa il mio metodo, ed esce come a me $1/sqrt2$ :shock:
Jaeger90
New Member
New Member
 
Messaggio: 46 di 67
Iscritto il: 29/01/2018, 17:21

Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda pilloeffe » 14/02/2019, 10:24

Jaeger90 ha scritto:ho visto la soluzione ed usa il mio metodo, ed esce come a me $1/sqrt{2} $

Metodo errato: manca il moltiplicatore $1/2 $, $\sqrt{t} $ a numeratore ed il primo estremo diventa $2$, può capitare nelle migliori famiglie... :wink:
Poi il risultato è quello, anche a me risulta $1/sqrt{2} = sqrt{2}/2 $
pilloeffe
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2532 di 2548
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 19 ospiti