Aiuto con questo limite

Messaggioda Salvo9595 » 13/02/2019, 19:13

Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi con la risoluzione di questo limite.
Ho difficoltà a capire cosa fare in presenza di radici al numeratore, ho questo limite che non riesco a risolvere:

$(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5)) / (2x + 5)$

come dovrei comportarmi?
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Re: Aiuto con questo limite

Messaggioda Mephlip » 13/02/2019, 20:09

Che strumenti conosci per la risoluzione di limiti? Limiti notevoli? De L'Hôpital? Taylor?
Comunque in questi casi l'approccio standard è raccogliere i termini "dominanti" dentro alle radici ed applicare le proprietà delle potenze (facendo moltissima attenzione).
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Re: Aiuto con questo limite

Messaggioda pilloeffe » 13/02/2019, 23:48

Ciao Salvo9595,

Benvenuto sul forum!
Salvo9595 ha scritto:Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi con la risoluzione di questo limite.

Innanzitutto non vedo alcun limite... :wink:
Poi, ammesso che tu ti sia dimenticato di scrivere $lim $, non è neanche specificato, almeno a parole, a cosa tende $ x $... :wink:
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Re: Aiuto con questo limite

Messaggioda Mephlip » 14/02/2019, 00:13

pilloeffe ha scritto:Innanzitutto non vedo alcun limite... :wink:

Ma sarà tendente ad $\infty$ :-D modalità nasconde pietosamente il fatto di non aver visto la mancanza del limite :roll:
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Re: Aiuto con questo limite

Messaggioda pilloeffe » 14/02/2019, 01:11

Mephlip ha scritto:modalità nasconde pietosamente il fatto di non aver visto la mancanza del limite

:lol: :lol:
Allora supponiamo che l'OP intendesse proporre il limite seguente:

$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $

Dato poi che ha senso anche calcolarsi il $\lim_{x \to -\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $, li possiamo risolvere tutti e due, che ha anche una maggiore valenza didattica:

$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))}{(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))(2x + 5)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + 4 - x^2 + 5}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} $

Ora, siccome $x \to +\infty $ siamo ragionevolmente sicuri che sia positivo, per cui possiamo omettere il modulo e scrivere:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{x(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x^2 + 5x)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 9/x^2}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2 + 5/x)} = \frac{3}{(sqrt(4) + sqrt(1))(2)} = 1/2 $

Naturalmente se invece $x \to -\infty $ al posto di $|x| $ si dovrà scrivere $- x $ e quindi si otterrà $- 1/2 $
In definitiva si ha:

$ \lim_{x \to \pm \infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \pm 1/2 $

con ovvio significato dei simboli.
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