Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 14/02/2019, 00:27

Il primo termine è $c_1=2$ mentre il secondo è $c_2=3$

Poi si prosegue così:
Moltiplico il primo termine per il secondo $c_1*c_2=2*3=6$ quindi il terzo termine è $c_3=6$
Moltiplico il secondo termine per il terzo $c_2*c_3=3*6=18$ quindi il quarto termine è $c_4=1$ e il quinto termine è $c_5=8$
Moltiplico il terzo termine per il quarto $c_3*c_4=6*1=6$ quindi il sesto termine è $c_6=6$
Moltiplico il quarto termine per il quinto $c_4*c_5=1*8=8$ quindi il settimo termine è $c_7=8$
Moltiplico il quinto termine per il sesto $c_5*c_6=8*6=48$ quindi l'ottavo termine è $c_8=4$ e il nono è $c_9=8$

E cosi via ... $2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, ... $

Possiamo notare che la sequenza non ha fine, in quanto ad ogni moltiplicazione si avanza di un termine ma contemporaneamente ne vengono aggiunti uno o due.

Dimostrare che in questa sequenza, così costruita, non compaiono mai le cifre $5$, $7$ e $9$.


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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Erich » 16/02/2019, 13:02

Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso! :lol:

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Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione :?


[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto? :roll:
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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Mathita » 16/02/2019, 15:14

Erich ha scritto:Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso! :lol:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione :?


[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto? :roll:


@ Erich
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A intuito, non credo che la successione converga a 8. Se fissiamo $0<\varepsilon<1$ deve esistere $\nu\in\mathbb{N}$ tale che $|c_n-8|<\varepsilon$ per ogni $n>\nu$. Proprio perché la successione è formata da interi, la relazione $$|c_n-8|<\varepsilon<1 \ \ \ \forall n>\nu$$ sarebbe vera se e solo se $c_n=8 \ \ \ \forall n>\nu$. Nel momento in cui considero i termini $c_{n_0}, \ c_{n_0+1}$ con $n_0>\nu$, essi saranno entrambi uguali a 8 e il loro prodotto genererà 6 e 4 come elementi della successione, violando la definizione di limite.

Di fatto, ho notato anch'io che ci sono pezzi di stringa formati esclusivamente da 8, ma non mi aiuta a risolvere il problema :evil: .
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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda giammaria » 16/02/2019, 17:49

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Tutti i numeri della sequenza sono di una sola cifra, che può essere la prima o la seconda del prodotto fra due numeri precedenti, cioè la prima o la seconda dei soli numeri che compaiono nella tavola pitagorica (considerata fino a 9*9=81).
Inizialmente nella sequenza non ci sono i numeri 5, 7, 9 e quindi inizialmente possiamo cancellare le relative righe e colonne; osservando quello che resta, notiamo che queste cifre non compaiono mai e quindi quelle righe e colonne saranno sempre escluse.

Apro un altro problema, che però mi sembra irresolubile: nella sequenza c'è una regolarità (ad esempio la periodicità) che permetta di dire qual è l'ennesimo numero senza calcolare tutti i numeri precedenti?
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 19:59

@giammaria
È una dimostrazione che non mi convince ...
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Per prima cosa quell'avverbio ("inizialmente") mi suona un po' vago, andrebbe precisato meglio ...
Secondariamente, la dimostrazione è circolare ovvero "siccome non ci sono all'inizio, non ci saranno anche dopo" ma questo andrebbe provato :D tant'è che non è neppure vero: per esempio $3 xx 3$ genera il $9$ :wink:

Per la regolarità, proverò a darci un'occhiata (se trovo il modo di costruirmi una sequenza lunga lunga senza fare fatica :D

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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 20:11

@Erich
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Mathita ti ha mostrato che $8$ non è il limite e io aggiungo che quella sequenza non ce l'ha un limite :D
Ma non solo : anche assumendo che un limite esista, non servirebbe a nulla, in quanto ti mostrerebbe solo il comportamento in un intorno del punto limite mentre la richiesta è che non compaiano MAI in tutta la sequenza.


Bravo per lo spoiler :smt023

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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Zero87 » 16/02/2019, 20:55

Sono certo che la mia dimostrazione è troppo semplice e informale per essere corretta. Però ci provo.
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Vado per osservazioni.

Osservazione 1.
Per costruzione ogni prodotto ha un risultato pari. La successione, infatti, al momento che compare un numero pari:
- o dà origine a un numero pari di una cifra;
- o dà origine a un numero pari di due cifre, ma in quel caso quando si arriverà a quei due termini sarà pur sempre uno pari e uno (la decina eventualmente) dispari.
Da questo deduco che alle unità non ci saranno più 5,7 e 9.

Osservazione 2.
I prodotti sono al massimo di 2 cifre proprio perché si considera come termine di una successione un termine di una cifra sola, quindi, al massimo, $9 \cdot 9 = 81$.

Osservazione 3.
Essendo $9 \cdot 9$ il prodotto più alto si può dedurre che il 9 non può capitare come cifra delle decine. Ma dall'osservazione 1 non capita nemmeno nelle unità quindi il 9 non capita (vedere anche osservazione 2).

Osservazione 4.
Il prodotto che dà il valore più alto, escluso il 9 dall'osservazione 3, resta $8\cdot 8 = 64 <70$ da cui si deduce che il 7 non capita alle decine ma, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Osservazione 5.
Manca da dimostrare una cosa analoga per il 5.
Per le osservazioni precedenti i tre prodotti con valore più alto sono $8\cdot 8= 64 > 59$, $6 \cdot 8 = 8 \cdot 6 = 48 <50$. Quindi il 5 non compare alle decine e, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Ammesso che sia giusto, penso che dimostrare una proprietà matematica in modo così brutto e poco matematico sia passabile da ban. :-D
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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 21:35

@zero87
È quasi giusta (a mio parere) :D

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È il primo punto che non mi convince (che poi è quello che conta).
Tu dici che "per costruzione" ogni prodotto è pari ma è un'affermazione apodittica cioè a priori non puoi esserne sicuro (vedi l'esempio $3 xx 3 = 9$, non lo puoi escludere a priori)
Sia tu che giammaria, a mio modesto parere, assumete per vero qualcosa che invece deve essere dimostrato ... IMHO
Comunque, siete sulla strada giusta ... :smt023


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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Mathita » 16/02/2019, 21:46

@Axpng
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Avevo seguito la stessa strategia di Zero87. A essa ho aggiunto solo una postilla: ogni numero dispari della successione è preceduto e seguito da un numero pari. Nella peggiore delle ipotesi, può succedere che tre termini consecutivi della successione siano nella forma UDU (Unità, Decine, Unità- cifre dei prodotti di fattori precedenti) di questa tripletta solo D può essere dispari.

Edit: la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. Se dovessi scrivere un articolo, avrei diverse difficoltà nel formalizzare i ragionamenti. :smt012
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Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 22:39

Mathita ha scritto:… la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. …

Manca il tassello fondamentale, quello che "tiene in piedi" i vostri ragionamenti … :D
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