esercizio di probabilità

Messaggioda robertinad » 15/03/2019, 11:31

Buongiorno ho un problema nel risolvere il seguente esercizio


Il vettore X= ( X1,X2)ha distribuzione uniforme in {(X1,X2): 1< X1 < 2 0< X2 < X1-1}
Rappresentare graficamente X (sono riuscita a farlo)
Indicare il valore assunto della funzione di densità di X in (0.5 ; 0.25) e in (0.5 ; 0,75)
(QUI NON RIESCO AD ANDARE AVANTI COME FACCIO A FARLO SE NON HO fx1x2(x1,x2)?
Grazie

Stabilire se X1 E X2 sono indipendenti
determinare la funzione di densità e supporto di X2 tenendo conto che X1 ha assunto valore di 0,5
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda tommik » 15/03/2019, 12:18

robertinad ha scritto:Rappresentare graficamente X (sono riuscita a farlo)


1) Dubito che questa sia la richiesta originale e corretta del problema; molto probabilmente la richiesta è "rappresentare graficamente il dominio (o supporto) di $X$, anche perché rappresentare la $X$ non vuol dire nulla....puoi rappresentare graficamente (ad esempio, ma nemmeno sempre) il supporto di una variabile, la sua pdf (che in questo caso però è una figura solida) ecc ecc


robertinad ha scritto:(QUI NON RIESCO AD ANDARE AVANTI COME FACCIO A FARLO SE NON HO fx1x2(x1,x2)?


2) stai calmina: ti rispondo solo perché sei appena iscritta ma qui chi urla non è ben accetto e quindi non riceve risposte.

3) le formule vanno scritte con l'apposito editor. Ti ho messo anche il link con le istruzioni

4) la traccia specifica che la pdf congiunta è uniforme sul dominio $mathcal{D}$ descritto nel testo del problema e quindi:

$f_(X_1X_2)(x_1,x_2)={{: ( 2 , ;(x_1,x_2)in mathcal{D}),( 0 , ;" altrove" ) :}$

....ora quello che hai chiesto di avere ce l'hai....



ciao
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda robertinad » 15/03/2019, 12:45

Grazie per la risposta scusa non volevo "urlare" volevo far capire dove mi fermavo.

Confermo dice di rappresentare graficamente il supporto di X.

Non ho capire perché è 2.


Se $ [{ x1,x2) :1< x1 < 2,  0<x2<x1-1 } / $ $ mathcal{D} $$ mathcal{D} $

mentre per valutare il volere della funzione di densità di X in $ (0.5 ; 0.25) $ e in $ (0.5 ; 0.75) $
Come posso farlo?
Grazie
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda robertinad » 15/03/2019, 15:51

Perfetto, penso di aver risolto
grazie

una conferma in generale :
se $ (P<a) $ $ c<x<d $. considerando  $a>c$
allora faro
$ int_c^a int_(RRinX2)   fxy(x,y) $
pero se ho come in questo caso 

P(X=a)
$ int_a^a int_(RRinX2) fxy(x,y) $

Vero?

ovviamente inserisco anche la stessa condizione in x2 se necessario come in questo esercizio
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda tommik » 15/03/2019, 16:20

robertinad ha scritto:Indicare il valore assunto della funzione di densità di X in (0.5 ; 0.25) e in (0.5 ; 0,75)


il valore assunto dalla densità di $X=(X_1,X_2)$ è 2 se sei nell'area del supporto1, zero altrimenti. Quindi dato che nei punti di coordinate $(X_1=0.5;X_2=0.25)$ e $(X_1=0.5;X_2=0.75)$ sei fuori dal triangolo in oggetto:

(cliccami per ingrandirmi)
Immagine

....il valore della densità nei punti dati è zero.

robertinad ha scritto:
Stabilire se X1 E X2 sono indipendenti


no, non lo sono e lo si vede dal supporto che non è rettangolare (condizione necessaria per l'indipendenza)

robertinad ha scritto:
determinare la funzione di densità e supporto di X2 tenendo conto che X1 ha assunto valore di 0,5


Questa richiesta invece è assolutamente senza senso, essendo ovviamente $f_(X_1)(0.5)=0$. Infatti, basta prendere la seguente definizione presa da un ottimo libro di probabilità (Cifarelli, Elementi di Calcolo delle Probabilità)

Def: sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio continuo con funzione di densità $f_(XY)(x,y)$ e funzioni di densità marginali $f_X(x), f_(Y)(y)$.
La funzione di densità condizionale di $X$ dato $Y=y$ è la funzione definita da

$f_(X|Y)(x|y)=(f_(XY)(x,y))/(f_Y(y))" ; "f_(Y)(y)>0$


...per concludere senza ombra di smentita che la densità condizionata richiesta non è definita.

Questa volta ti ho risolto tutto l'esercizio nei dettagli ma dal tuo prossimo (eventuale) intervento mi auguro un maggiore sforzo nella bozza risolutiva del problema
saluti

Note

  1. tieni presente che la variabile $X=(X_1,X_2)$ è un vettore aleatorio e la sua densità è uniforme. Ciò significa che la densità è l'altezza (costante) del mezzo parallelepipedo con base triangolare il cui volume è ovviamente 1 (da cui $f_(X_1X_2)*1/2=1 rarr f_(X_1X_2)=2$) e rappresenta tutta la distribuzione di probabilità del vettore
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda tommik » 16/03/2019, 12:18

robertinad ha scritto:determinare la funzione di densità e supporto di X2 tenendo conto che X1 ha assunto valore di 0,5


visto che la domanda in questione è assolutamente insensata (non so se per un refuso di copiatura delll'OP o di stampa del prof) proviamo a rendere l'esercizio interessante. Innanzitutto poniamo il vettore $(X,Y)$ in modo da semplificare la notazione (evitando i pedici) e riformuliamo la seguente

robertinad ha scritto:determinare la probabilità che $Y<=1/4$ tenendo conto che $X$ ha assunto valore di $3/2$


partiamo dalla definizione della densità uniforme della traccia:

$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;(x,y)in mathcal(D)),( 0 , ;" altrove" ) :}$

dove, come nel caso della traccia iniziale $mathcal(D)={(x,y) in RR^2:1<X<2,0<Y<X-1}$

...e proviamo a calcolare $mathbb{P}[Y<=1/4|X=3/2]$

Il primo approccio è sfruttando la definizione di probabilità condizionata (poniamo $0<=epsilon<=1/4$):

$mathbb{P}[Y<=1/4|X=3/2]=(2int_(0)^(1/4)dyint_(3/2-epsilon)^(3/2+epsilon)dx)/(int_(3/2-epsilon)^(3/2+epsilon)2(x-1)dx)=epsilon/(6epsilon-4epsilon)=1/2$

Il secondo e più naturale approccio consiste nell'integrare direttamente la densità condizionata

$int_(0)^(1/4)f_(Y|X)(y|x)dy$ dato $X=3/2$ ottenedo subito

$1/(x-1)int_(0)^(1/4)dy=1/(3/2-1)1/4=1/2$

cvd.....
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