Forma di Jordan e vettore ciclico

Messaggioda anti-spells » 15/03/2019, 15:50

Dalla matrice $A = ((1,3,0,2,1),(0,0,0,0,0),(1,2,0,2,1),(-1,-1,1,1,-1),(-1,-1,1,0,1))$ ottengo la matrice di Jordan
$J = ((0,1,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,0,0,0,1))$ con $P = ((-5,-10,-2,-3,0),(0,1,0,0,0),(-6,-8,-2,-3,0),(2,1,0,-1,-2),(1,0,0,0,1))$ , tale che $J=P^-1AP$ .

Devo determinare un vettore $w in QQ^5$ tale che $B={w,\phi(w),\phi^2(w),\phi^3(w),\phi^4(w)}$ è base di $QQ^5$ e trovarne la matrice associata.

So che un tale vettore (detto ciclico) esiste poichè polinomio minimo e caratteristico coincidono, $P_\phi(x) = x^2(x-1)^3$ .
So anche ricavare la matrice (detta la matrice compagna): $P_\phi(x)=x^5-3x^4+3x^3-x^2$ quindi
$C = ((0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,1),(0,0,1,0,-3),(0,0,0,1,3))$ però non capisco come tirare fuori questo $w$ . Credo sia una stupidaggine ma non capisco come determinarlo
anti-spells
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Re: Forma di Jordan e vettore ciclico

Messaggioda Euclidino » 17/03/2019, 11:19

anti-spells ha scritto:Ottengo la matrice di Jordan
$J = ((0,1,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,0,0,0,1))$ con $P = ((-5,-10,-2,-3,0),(0,1,0,0,0),(-6,-8,-2,-3,0),(2,1,0,-1,-2),(1,0,0,0,1))$ , tale che $J=P^-1AP$ .


Si può vedere che la matrice J è composta da due blocchi triangolari, un blocco 2x2 per l'autovalore 0 e un blocco 3x3 per l'autovalore 1. Possiamo quindi trovare un vettore $V_1$ in $ker(J^2)$ tale che ($V_1$, $JV_1$) sono linearmente indipendenti, e $V_2$ in $ker((J-1)^3)$ tali che ($V_2$, $JV_2$, $J^2V_2$) sono linearmente indipendenti. Prendi $v = V_1 + V_2$, quindi $w = PV$.
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Re: Forma di Jordan e vettore ciclico

Messaggioda anti-spells » 17/03/2019, 15:16

Euclidino ha scritto:
anti-spells ha scritto:Ottengo la matrice di Jordan
$J = ((0,1,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,0,0,0,1))$ con $P = ((-5,-10,-2,-3,0),(0,1,0,0,0),(-6,-8,-2,-3,0),(2,1,0,-1,-2),(1,0,0,0,1))$ , tale che $J=P^-1AP$ .


Si può vedere che la matrice J è composta da due blocchi triangolari, un blocco 2x2 per l'autovalore 0 e un blocco 3x3 per l'autovalore 1. Possiamo quindi trovare un vettore $V_1$ in $ker(J^2)$ tale che ($V_1$, $JV_1$) sono linearmente indipendenti, e $V_2$ in $ker((J-1)^3)$ tali che ($V_2$, $JV_2$, $J^2V_2$) sono linearmente indipendenti. Prendi $v = V_1 + V_2$, quindi $w = PV$.


Intendi $w = Pv $ dove $v= V_1 + V_2$ ? In generale quindi prendo un vettore che sta nell'autospazio generalizzato di periodo massimo per ogni autovalore e li sommo? E' una procedura standard?

Per esempio nella matrice (totalmente inventata) $J= ((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,2,1,0,0,0),(0,0,0,2,0,0,0),(0,0,0,0,2,0,0),(0,0,0,0,0,3,1),(0,0,0,0,0,0,3))$ ho un blocco $J_2(0)$ , 1 blocco $J_2(2)$ , 1 blocco $J_1(2)$ , 1 blocco $J_2(3)$ quindi devo prendere $v_1 in ker(\phi)^2 , v_2 in ker(\phi - 2id)^2 , v_3 in ker(\phi - 2id) , v_4 in ker(\phi - 3id)^2$ e poi $w = v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ ?
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Re: Forma di Jordan e vettore ciclico

Messaggioda Euclidino » 18/03/2019, 16:49

anti-spells ha scritto:Intendi $w = Pv $ dove $v= V_1 + V_2$ ?


Si.

anti-spells ha scritto: In generale quindi prendo un vettore che sta nell'autospazio generalizzato di periodo massimo per ogni autovalore e li sommo? E' una procedura standard?
Per esempio nella matrice (totalmente inventata) $J= ((0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0),(0,0,2,1,0,0,0),(0,0,0,2,0,0,0),(0,0,0,0,2,0,0),(0,0,0,0,0,3,1),(0,0,0,0,0,0,3))$ ho un blocco $J_2(0)$ , 1 blocco $J_2(2)$ , 1 blocco $J_1(2)$ , 1 blocco $J_2(3)$ quindi devo prendere $v_1 in ker(\phi)^2 , v_2 in ker(\phi - 2id)^2 , v_3 in ker(\phi - 2id) , v_4 in ker(\phi - 3id)^2$ e poi $w = v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ ?


In questo esempio, il polinomio minimo $X^2(X-2)^2(X-3)^2$ è di grado 6. Possiamo trovare solo un vettore $v$ tale che ($v$, $Jv$, ..., $J^5v$) siano linearmente indipendenti. Il metodo consiste nel prendere $v_1 in ker(\phi)^2$ tale che $(v_1,Jv_1)$ sono linearmente indipendenti, $v_2 in ker(\phi - 2id)^2$ tale che $(v_2,Jv_2)$ sono linearmente indipendenti, $v_4 in ker(\phi - 3id)^2$ tale che $(v_4,Jv_4)$ sono linearmente indipendenti e poi $w = v_1 + v_2 + v_4$. Non prendi $v_3$ perché $ker(\phi - 2id)$ è incluso in $ker(\phi - 2id)^2$.
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