Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda HowardRoark » 17/03/2019, 16:54

Devo determinare l'ordine di questo infinito: $f(x) = 1/(sin^2 (2x))$ per $x->0$. Prendo quindi come infinito campione $1/x$ e valuto $lim_(x->0) (x)/(sin^2 (2x))$. Numeratore e denominatore sono infinitesimi per $x->0$, quindi, applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi, $sin^2 (2x) = sin (2x) * sin (2x) ~ 2x * 2x = 4x^2$. Quindi il limite diventerebbe $lim_(x->0) x/(4x^2)$, che però non esiste.
Cosa sto sbagliando?
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda HowardRoark » 17/03/2019, 17:00

Credo di aver scritto una cavolata: siccome devo determinare l'ordine dell'infinito, la cosa sensata sarebbe quella di prendere come infinito campione $(1/x)^k$ e valutare per quale valore di $k$ il limite è finito e diverso da $0$.
Col principio di sostituzione degli infinitesimi non dovrei aver sbagliato.
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda SirDanielFortesque » 17/03/2019, 17:52

Prova a calcolare il limite
$lim_(x->0)(x^2/(sin^2(2x)))$
Conoscete la storia del Conte Giacomo Ceconi?
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda Bokonon » 17/03/2019, 18:30

HowardRoark ha scritto:applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi, $sin^2 (2x) = sin (2x) * sin (2x) ~ 2x * 2x = 4x^2$. Quindi il limite diventerebbe $lim_(x->0) x/(4x^2)$, che però non esiste.
Cosa sto sbagliando?

Non stai sbagliando. L'ordine di infinito della f(x) è 2.
Non ti hanno chiesto "se converga o meno".

Ti sarà più chiaro quando farai Taylor e gli o-piccoli. Nella sostanza, i limiti notevoli sono approssimazioni di taylor di primo grado ovvero "o-piccoli di x elevato alla prima", $o(x)$. In questo caso la serie di taylor è centrata attorno allo zero, quindi si chiama di McLaurin (semplicemente un caso speciale delle serie di Taylor che invece possono essere centrate dove ti pare).
Hai sfruttato il limite notevole per dedurre l'o-piccolo di una funzione composta come $sin^2(2x)$ e quello che hai ottenuto è la risposta corretta.

P.S. Per la precisione in futuro scriverai che $sin^2 (2x) = 4x^2+o(x^2)$
P.S.2 Non avevo notato un errore...alla fine devi scrivere per $x->0$ (quindi attorno allo zero) la funzione è $~ 1/(4x^2)$, non puoi cambiare la funzione in esame.
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda HowardRoark » 17/03/2019, 20:29

Grazie per le risposte. Alla fine ho determinato facilmente l'ordine dell'infinito ($2$). Il fatto è che ho un esame tra due giorni e sto facendo vagonate di esercizi, quindi non sono proprio lucidissimo nel risolverli tutti...
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda SirDanielFortesque » 17/03/2019, 20:32

Vedrai che ce la fai. Una volta passato ti convincerai che è più difficile quello della patente.
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Re: Principio di sostituzione degli infinitesimi

Messaggioda HowardRoark » 18/03/2019, 23:22

Ah ah, sei incoraggiante :D
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