dimostrazione identità vettoriale

Messaggioda mdm7 » 04/04/2019, 13:25

Salve a tutti! Non riesco a risolvere questa identità vettoriale con la notazione di Einstein
$\ 1/2 grad$$(a*a) = (a * grad) a + a xx (grad xx a)$
gentilmente qualcuno di questo forum può risolvere questa formula e riportare i calcoli? Vi ringrazio anticipatamente
mdm7
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Re: dimostrazione identità vettoriale

Messaggioda pilloeffe » 04/04/2019, 14:11

Ciao mdm7,

Si tratta dell'identità vettoriale

$ \nabla (\vec a \cdot \vec b) = \vec a \times (\nabla \times \vec b) + \vec b \times (\nabla \times \vec a) + (\vec a \cdot \nabla)\vec b + (\vec b \cdot \nabla)\vec a $

scritta nel caso particolare $\vec b = \vec a $:

$ \nabla (\vec a \cdot \vec a) = \vec a \times (\nabla \times \vec a) + \vec a \times (\nabla \times \vec a) + (\vec a \cdot \nabla)\vec a + (\vec a \cdot \nabla)\vec a \implies $
$\implies \nabla (\vec a \cdot \vec a) = 2\vec a \times (\nabla \times \vec a) + 2(\vec a \cdot \nabla)\vec a \implies $
$ \implies 1/2 \nabla (\vec a \cdot \vec a) = \vec a \times (\nabla \times \vec a) + (\vec a \cdot \nabla)\vec a $
pilloeffe
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Re: dimostrazione identità vettoriale

Messaggioda mdm7 » 04/04/2019, 19:36

scusami ma il $\grad \vec a * \vec b$ come si svolge con la notazione di Einstein?
mdm7
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Re: dimostrazione identità vettoriale

Messaggioda pilloeffe » 04/04/2019, 20:34

La notazione di Einstein o convenzione di Einstein delle sommatorie stabilisce che quando un indice si presenta due volte in un termine di un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.
Quindi ad esempio in $\RR^3 $, tanto per fissare le idee, invece di

$\vec a \cdot vec \b = \sum_{i = 1}^{3} a_i b_i $

con la convenzione di Einstein si scriverà

$\vec a \cdot vec \b = a_i b^i $

Infatti il termine $a_i b^i $ contiene due volte l'indice $ i $, una volta come covariante ed una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di $ i $ può essere sottintesa.
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